Решение уравнений методом гаусса для чайников

И двойка слева вверху нас устроит! На первом шаге нужно выполнить следующие преобразования: Таким образом, мы получим нужные нули в первом столбце. Или еще такой условный пример: Необходимо провести следующее преобразование: Метод Гаусса универсален, но есть одно своеобразие. Уверенно научиться решать системы другими методами методом Крамера, матричным методом можно буквально с первого раза — там очень жесткий алгоритм.

Вернемся к нашей системе. Она практически разобрана по косточкам. Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке. В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: Сначала я распишу преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на —2: На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче: Умножают строку обычно устно или на черновике, при этом мысленный ход расчётов примерно такой:. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на —2: Записываю результат во вторую строку: Вверху —1 умножаю на —2: Ко второй строке прибавляю первую: Вверху —5 умножаю на —2: Но, конечно, над этим преобразованием мы еще поработаем.

Дальше алгоритм работает уже по накатанной колее: К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3. Обратный ход, напоминаю, работает, снизу вверх. Да тут подарок получился: Это пример для самостоятельного решения, он несколько сложнее. Ничего страшного, если кто-нибудь запутается. Полное решение и образец оформления в конце урока. Ваше решение может отличаться от моего решения. В последней части рассмотрим некоторые особенности алгоритма Гаусса. Первая особенность состоит в том, что иногда в уравнениях системы отсутствуют некоторые переменные, например: Как правильно записать расширенную матрицу системы?

По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла — это просто отчеркивание для удобства оформления. Любую из матриц можно для краткости называть просто матрицей. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки: В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них: Здесь целесообразно первую строку разделить на —3, а вторую строку — умножить на 2: Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.

Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. То есть, мысленно умножили вторую строку на —1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.

Поэтому поначалу возможны путаница, ошибки в вычислениях, и в этом нет ничего необычного или трагического. Дождливая осенняя погода за окном

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Но вот ответы обязательно должны получиться одинаковыми! Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: Там у нас должна быть единица.

Заодно делим третью строку на —2, ведь чем меньше числа, тем проще решение: На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь: Попробуйте разобрать это действие самостоятельно — мысленно умножьте вторую строку на —2 и проведите сложение. В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений: В третьем уравнении у нас уже готовый результат: Смотрим на второе уравнение: И, наконец, первое уравнение: Как уже неоднократно отмечалось, для любой системы уравнений можно и нужно сделать проверку найденного решения, благо, это несложно и быстро.

Продолжаем рассматривать системы линейных уравнений. Этот урок является третьим по теме. Метод Гаусса — это просто! А всё гениальное, как известно — просто! Кстати, на деньги попадают не только лохи, но еще и гении — портрет Гаусса красовался на купюре в 10 дойчмарок до введения евро , и до сих пор Гаусс загадочно улыбается немцам с обычных почтовых марок. Необходимо уметь складывать и умножать! Не случайно метод последовательного исключения неизвестных преподаватели часто рассматривают на школьных математических факультативах.

Парадокс, но у студентов метод Гаусса вызывает наибольшие сложности. Ничего удивительного — всё дело в методике, и я постараюсь в доступной форме рассказать об алгоритме метода. Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может:. Замечу, что сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково.

С чего начать действия? Сначала смотрим на левое верхнее число: Вообще говоря, устроит и —1 а иногда и другие числа , но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Смотрим на первый столбец — готовая единица у нас есть! Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах: Сначала разбираемся со второй строкой 2, —1, 3, Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль?

А мысленный ход самих расчётов я уже рассмотрел выше. В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на —5 поскольку там все числа делятся на 5 без остатка.

В расширенной матрице системы на месте отсутствующих переменных ставим нули: Кстати, это довольно легкий пример, поскольку в первом столбце уже есть один ноль, и предстоит выполнить меньше элементарных преобразований. Вторая особенность состоит вот в чём. Могут ли там быть другие числа? В ряде случаев могут. Но замечаем тот факт, что все числа в первом столбце делятся на 2 без остатка — и другая двойка и шестерка.

Решить методом Гаусса систему уравнений: Запишем расширенную матрицу системы: Сейчас я сразу нарисую результат, к которому мы придём в ходе решения: И повторюсь, наша цель — с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду.

Мысленно или на черновике умножаем первую строку на —2: Результат записываем во вторую строку: Аналогично разбираемся с третьей строкой 3, 2, —5, —1. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на —3: Результат записываем в третью строку: На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг: Не нужно считать всё сразу и одновременно.