Решение интегралов с корнями в знаменателе

Иррациональная функция от переменной — это функция, которая образована из переменной и произвольных постоянных с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения возведения в целочисленную степень , деления и извлечения корней.

Существует три основных типа иррациональных функций, неопределенные интегралы от которых приводятся к интегралам от рациональных функций. Это интегралы, содержащие корни произвольных целочисленных степеней из дробно-линейной функции корни могут быть различных степеней, но от одной и той же, дробно-линейной функции ; интегралы от дифференциального бинома и интегралы с квадратным корнем из квадратного трехчлена.

Методы интегрирования иррациональных функций корней Рассмотрены основные методы интегрирования иррациональных функций корней. Дробно-линейная иррациональность, дифференциальный бином, интегралы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена. Некоторые эллиптические интегралы, выражающиеся через элементарные функции.

Таким образом разумен второй подход, согласно которому можно не следить за знаками в подкоренных выражениях. Тогда результат интегрирования следует рассматривать как многозначную комплексную функцию. А затем из этой многозначной функции можно выделить различные однозначные ветви римановы поверхности.

При этом следует иметь в виду, что. Это можно сделать, если писать знаки или там, где это необходимо. При обратном преобразовании к переменной x , эти знаки, как правило, взаимно сокращаются. С другой стороны возникает вопрос. Почему, применяя одни и те же правила интегрирования к одному и тому же выражению, получаем результат с разными знаками?

Основные подстановки перечислены ниже. Более подробно они рассматриваются на странице: Также интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера: Если это уравнение имеет действительные корни. В заключении рассмотрим интегралы вида: Такие интегралы называются эллиптическими. В общем виде они не выражаются через элементарные функции. Однако встречаются случаи, когда между коэффициентами A, B, C, D, E существуют соотношения, при которых такие интегралы выражаются через элементарные функции.

Для их применения, с помощью линейной подстановки, квадратный трехчлен под знаком интеграла нужно привести к сумме или разности квадратов. Затем нужно применить одну из тригонометрических или гиперболических подстановок.

Так что в результате получим несколько или бесконечно много выражений для неопределенного интеграла от одной и той же подынтегральной функции, соответствующих различным римановым поверхностям. Далее, по возможности, мы будем применять первый подход, и следить за знаком подкоренных выражений. Это интегралы с корнями от одной и той же дробно-линейной функции: Такие интегралы сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой: Вот примеры таких интегралов: Интегралы от дифференциальных биномов имеют вид: Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях.

Ниже приводится пример, связанный с возвратными многочленами. Вычисление подобных интегралов выполняется с помощью подстановок: Обыкновенные дифференциальные уравнения Справочник по элементарным функциям Методы вычисления неопределенных интегралов.

Если мы формально применяем правила интегрирования и не следим за знаком подкоренных выражений, то мы получаем результат, который является комплексной функцией. А поскольку корни многозначны, то мы получаем несколько действительных выражений для неопределенного интеграла от одной и той же подынтегральной функции. Это согласуется с тем, что неопределенный интеграл не является функцией, а является множеством всех первообразных.

Интегрирование рациональной функции от квадратного корня из квадратного трехчлена. Интегрирование тригонометрических рациональных функций. Таблица неопределенных интегралов Основные элементарные функции и их свойства Степенная функция и корни, формулы Степенная функция, ее свойства и графики Иррациональная функция от переменной — это функция, которая образована из переменной и произвольных постоянных с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения возведения в целочисленную степень , деления и извлечения корней.

Деление и умножение многочлена на многочлен уголком и столбиком. Интегралы от многочлена дробь степень от двучлена квадратный корень из квадратного трехчлена. Интегралы от двучлена дробь степень от трехчлена квадратный корень из квадратного трехчлена.

Таблица неопределенных интегралов Основные элементарные функции и их свойства Степенная функция и корни, формулы Степенная функция, ее свойства и графики. Таблица неопределенных интегралов для студентов. Примеры решения интегралов, с логарифмом и обратными тригонометрическими функциями.

Иррациональная функция отличается от рациональной тем, что иррациональная функция содержит операции извлечения корней.

Иногда такие интегралы можно упростить с помощью формул приведения: Такие интегралы имеют вид: Для каждого такого интеграла имеется несколько методов решения. Такие интегралы находятся методом неопределенных коэффициентов, используя тождество: Дифференцируя это уравнение и приравнивая левую и правую части, находим коэффициенты A i. Здесь мы делаем подстановку: После чего интеграл примет вид: Тогда интеграл распадается на сумму интегралов двух видов: В некоторых случаях, применение тригонометрических и гиперболических подстановок приводит к более коротким вычислениям.

Дробно-линейная иррациональность Это интегралы с корнями от одной и той же дробно-линейной функции: В остальных случаях, такие интегралы не выражаются через элементарные функции. Рассмотрим эти методы более подробно. I тип Интеграл вида: