Решение примеров с корнями

Вот вам простенький пример:. Как видите, свойство корней, позволяющее вносить множитель под знак корня, вполне годится для упрощения. Кроме того, внесение множителя под корень позволяет легко и просто сравнивать значения различных корней. Безо всякого их вычисления и калькулятора! Сравните вот эти выражения. Какое из них больше? Запомним вдруг, не знали? Отсюда сразу правильный ответ, безо всяких сложных вычислений и расчётов:. Но и это ещё не всё! Вспомним, что все формулы работают как слева направо, так и справа налево.

К этой теме имеются дополнительные материалы в Особом разделе Для тех, кто сильно "не очень В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень. Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней , каковы свойства корней , и что со всем этим можно делать. Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями - это, по сути, одно и то же.

Всё равно мы упростили выражение. В математике принято оставлять под корнем самое маленькое число из возможных. В процессе решения все зависит от примера может и без упрощения всё посокращается , а вот в ответе надо дать результат, который уже дальнейшему упрощению не поддаётся.

Разложим это число на множители. Для начала сообразим, на что делится это число ровно? Идите в Особый раздел , тема "Дроби" , там они есть.

На всякий случай сообщу, что множителей может быть сколько угодно. Формула умножения корней всё равно работает. Можно ли спрятать двойку внутрь корня?

Казалось бы, умножили, и что? А вот как вам такой пример? Из множителей корни ровно не извлекаются. А из результата - отлично!

Так можно поступать с любыми большими числами. Раскладывать их на множители, и - вперёд! Кстати, а почему на 3 делить не надо было, догадались? Да потому, что корень из трёх ровно не извлекается! Имеет смысл раскладывать на такие множители, чтобы хотя бы из одного корень хорошо извлекался. Это 4, 9, 16 ну, и так далее. Делите своё громадное число на эти числа поочерёдно, глядишь, и повезёт! Может и не повезти. Скажем, число при разложении на множители и использовании формулы корней для произведения даст такой результат:.

На 3 и на 9 делится это число. Это один из признаков делимости. На три нам делить ни к чему сейчас поймёте, почему , а вот на 9 поделим. Хотя бы и уголком. Вот мы и нашли два множителя! Первый - девятка это мы сами выбрали , а второй - такой уж получился. С числом поступим аналогично. Оно тоже делится на 3 и 9. На 3 опять не делим, делим на 9. А это число мы знаем! Всё получилось легко и элегантно! Корень пришлось по кусочкам извлекать, ну и ладно.

Мы вынесли множители из-под знака корня! Вот так называется эта операция. А то попадётся задание - " вынести множитель из-под знака корня " а мужики-то и не знают Вот вам ещё одно применение свойства корней. Разложить подкоренное выражение на множители и извлечь корни, которые извлекаются.

Важно правильно выбрать множители. И всё получилось удачно. А могли разложить иначе: Ни из 6, ни из 12 корень не извлекается Или поискать другие варианты разложения, или продолжать раскладывать всё до упора! Как видим, всё получилось. Это, кстати, не самый быстрый, но самый надёжный способ.

Раскладывать число на самые маленькие множители, а затем собирать в кучки одинаковые. Способ успешно применяется и при перемножении неудобных корней. Перемножать всё - сумасшедшее число получится!

Если из двойки сделать корень, сработает формула умножения корней. А как из двойки корень сделать? Да тоже не вопрос! Двойка - это корень квадратный из четырёх! Корень, между прочим, можно сделать из любого неотрицательного числа! Это будет корень квадратный из квадрата этого числа. Ну, и так далее. Конечно, расписывать так подробно нужды нет. Разве что, для начала Достаточно сообразить, что любое неотрицательное число, умноженное на корень, можно внести под корень.

Формул для квадратных корней на удивление немного. Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да Напоминаю из предыдущего урока: Иначе формула смысла не имеет Это свойство корней , как видите простое, короткое и безобидное. Но с помощью этой формулы корней можно делать массу полезных вещей! Разберём на примерах все эти полезные вещи.

Но - не забывайте! Это действие - внесение числа под корень - можно ещё назвать умножением числа на корень. В общем виде можно записать:. Как и любое преобразование, эта процедура расширяет наши возможности. Возможности превратить жестокое и неудобное выражение в мягкое и пушистое.

Мы пока формулу умножения корней слева направо употребляли. Давайте запустим это свойство корней наоборот, справа налево. Предположим, нам нужно извлечь без калькулятора! Кое-кто на этом этапе и падёт в неравной борьбе с задачей Но мы упорные, мы не сдаёмся! Вспоминаем формулу извлечения корней из произведения. Ту, что я чуть выше написал. Но где у нас произведение!? У нас огромное число и всё Да, произведения здесь нет. Но если нам надо - мы его сделаем!