Решение рам методом перемещений

При вырезании каждого узла необходимо учитывать, что положительная поперечная сила вращает узел по ходу часовой стрелки, а отрицательная — против часовой стрелки. После построения всех окончательных эпюр выполняется статическая проверка расчета — путем проверки равновесия всей рамы: Порядок расчета статически неопределимой рамы методом перемещений: Определяется число неизвестных метода перемещений равное степени кинематической неопределимости рамы и выбирается основная система метода перемещений.

Записывается система канонических уравнений: Для определения коэффициентов и свободных членов канонических уравнений для основной системы строятся единичные и грузовая эпюры моментов рис. Определяются коэффициенты и свободные члены канонических уравнений, то есть реакции, возникающие в дополнительных связях в основной системе табл. Выполняется проверка правильности определения коэффициентов и свободных членов уравнения.

Следующим этапом расчета является составление системы канонических уравнений. Физический смысл системы канонических уравнений метода перемещений состоит в том, что суммарная реакция в каждой дополнительной связи должна быть равна нулю. Таких единичных эпюр будет столько, сколько дополнительных связей введено в систему.

Общее число закреплений укажет на число неизвестных при данном расчете. Основная система при этом представляет собой ряд статически неопределимых балок, защемленных на одном конце и свободно опертых на другом или защемленных с двух концов.

Для заданной статически неопределимой рамы рис. I 1 — момент инерции ригеля, I 2 — момент инерции стойки. Пояснения к решению задачи. При выборе основной системы метода перемещений необходимо учитывать, что линейные связи должны быть поставлены не только по направлению возможных линейных перемещений, но и для устранения мгновенной изменяемости системы, образованной после постановки шарниров во все узлы включая опорные.

В основной системе связи должны быть поставлены не только по направлению возможных линейных перемещений, но и для устранения угловых перемещений. Строятся грузовая и единичные эпюры изгибающих моментов, при этом используются таблицы реакций, имеющиеся в учебниках. При определении коэффициентов следует внимательно следить за их знаками, а также использовать теорему о взаимности реакций.

Полагается, что перемещения узлов малы и происходят за счет изгибных деформаций стержней системы. Степень кинематической неопределимости системы подсчитывается по формуле. После определения количества неизвестных n следует приступить к выбору основной системы. Кроме того, необходимо закрепить систему достаточным количеством стержней, препятствующих линейному смещению узлов.

Подставляя в уравнение 1 значения z 2 и z 3 , определяем значение z 1. После решения системы канонических уравнений и определения неизвестных строят эпюры изгибающих моментов от найденных значений неизвестных исправленные эпюры , то есть. Сложив исправленные эпюры с эпюрой от нагрузки M p , получим окончательную эпюру изгибающих моментов в заданной системе от заданной нагрузки: Производится статическая и кинематическая проверки полученной окончательной эпюры изгибающих моментов.

Эпюры поперечных и продольных сил могут быть построены по эпюре моментов так же, как и при расчете рамы методом сил. EI 1 — изгибная жесткость ригеля, EI 2 — изгибная жесткость стойки.

Жесткий узел, кроме линейных перемещений может получить и угловое перемещение. Жестким считается узел, в котором не менее двух стержней соединены между собой жестко.

Выполняется проверка коэффициентов канонических уравнений: В результате решения системы канонических уравнений определяются значения неизвестных метода перемещений: Окончательная эпюра изгибающих моментов строится путем суммирования грузовой эпюры с эпюрами моментов от Z i: Суммирование эпюр рекомендуется производить по характерным точкам.

При их построении следует пользоваться таблицей 5. Рекомендуется для каждого единичного смещения вычертить деформированную схему рамы с указанием растянутых волокон, что поможет правильно воспользоваться указанной таблицей. Коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений, представляющие реактивные усилия во введенных стержневых связях, могут быть определены из условий равновесия некоторой отсеченной части основной системы, содержащей эти связи.

Изложенная выше проверка называется универсальной. Если условия 4 , 5 не выполняются, необходимо для отыскания ошибки провести построчные проверки: Если уравнений больше двух, то рекомендуется решать их с помощью сокращенного алгоритма Гаусса.

Для заданной рамы рис. I 1 — момент инерции вертикальных стержней,. I 2 — момент инерции горизонтальных и наклонных стержней. Метод перемещений наряду с методом сил является также точным методом. В методе перемещений в качестве основных неизвестных принимаются характерные перемещения системы — перемещения ее узлов.

Определение коэффициентов и свободных членов уравнений. В систему канонических уравнений подставляются найденные цифровые значения коэффициентов и свободных членов уравнений: Решается система канонических уравнений. Получены следующие значения неизвестных: Для проверки правильности решения полученные значения неизвестных подставляются во все канонические уравнения: Строится окончательная эпюра изгибающих моментов рис.

Эти балки заранее рассчитаны на все виды нагрузок в табл. Поскольку в заданной раме узлы могут иметь перемещения, основную систему надо рассчитать на смещение этих узлов по направлению введенных связей.

Эпюра поперечных сил на каждом участке строится по уже проверенной расчетной эпюре моментов так же, как и в методе сил. Построение расчетной эпюры продольных сил. Эпюра продольных сил строится, как и в методе сил по расчетной эпюре поперечных сил методом вырезания узлов. Статическая проверка рамы в целом. В заданной системе отбрасываются опоры, их действие на раму заменяется усилиями согласно построенным эпюрам M , Q , N ; проверяется выполнение уравнений равновесия рамы в целом.

Строятся грузовая и единичные эпюры изгибающих моментов. Выполняется проверка коэффициентов и свободных членов: В результате решения системы канонических уравнений определяются значения неизвестных метода сил: Строится окончательная эпюра изгибающих моментов: Строятся эпюры поперечных и продольных сил.

Определив их, подставляют значение в уравнение — и так до последнего уравнения, пока не будут определены значения всех неизвестных в системе. Разберем принцип решения на примере системы из трех уравнений. В результате преобразований получаем одно уравнение III с одним неизвестным, из которого определим z 3. Определив z 3 и подставив его значение в уравнение II , найдем значение z 2.

Прежде чем приступать к подсчету коэффициентов канонических уравнений, необходимо значения ординат на всех единичных эпюрах выразить через какую-либо одну жесткость EI 1 или EI 2. При определении коэффициентов следует внимательно следить за их знаками. Порядок расчета статически неопределимой рамы методом сил: Желательно, чтобы выбранная ОС была проста для дальнейших расчетов.

Примеры расчет рамы методом перемещений. Определяется число неизвестных перемещений: Итак, имеем 3 угловых перемещения и 1 линейное. Их можно представить схемой, изображенной на рис. Выбирается основная система путем введения дополнительных жестких и линейных связей рис. В результате получим систему, состоящую из пяти балок, защемленных двумя концами, и трех балок, защемленных одним концом и с шарнирным опиранием другого конца.

Невыполнение условий равновесия узлов указывает на неправильность построения окончательной эпюры изгибающих моментов. Кинематическая проверка состоит в выполнении следующего условия: Можно также воспользоваться правилом Верещагина и перемножить указанные эпюры, после этого должен получиться ноль: Статическая проверка эпюры моментов. Статическая проверка заключается в проверке равновесия узлов рамы. Построение расчетной эпюры поперечных сил.

Реактивное усилие считается положительным, если его направление совпадает с направлением линейного смещения закрепления. Определив коэффициенты при неизвестных и свободные члены канонических уравнений , необходимо выполнить их проверку. Проверка коэффициентов при неизвестных производится по следующей формуле: Используя правило Верещагина, r ss можно определить по выражению: Проверка свободных членов уравнений производится следующим образом: Применяя правило Верещагина, можно определить сумму всех свободных членов канонических уравнений по формуле.

Узлы — места сопряжения стержней, как правило, бывают шарнирными или жесткими. Шарнирный узел может иметь линейное перемещение, которое можно разложить на вертикальную и горизонтальную составляющие.

Сущность его сводится к последовательному исключению неизвестных. Если, например, имеем систему уравнений с n неизвестными, то в результате преобразования получаем сначала одно уравнение с n — 1 неизвестным, затем с n — 2 неизвестным, с n — 3 неизвестным и т. Найденное значение первого неизвестного подставляется во второе уравнение, содержащее два неизвестных.

Ординаты эпюр откладываются в сторону растянутых волокон.

Первая заключается в проверке равновесия всех узлов эпюры М. Она имеет большое значение, так как у всех слагаемых эпюр узлы не уравновешены.