Решение двойного интеграла в полярных координатах примеры

На нашем сайте собрано более бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике. Не можете решить контрольную?! Более 20 авторов выполнят вашу работу от руб! Двойной интеграл от функции двух переменных по области G обозначается. Для вычисления двойного интеграла, его нужно свести к повторному интегралу. Пусть область интегрирования — элементарна относительно оси рис.

Для вычисления этого двойного интеграла перейдем к повторному интегралу: Вычислить двойной интеграл, если область ограничена осями координат и прямой. Для вычисления заданного двойного интеграла перейдем к повторному, в котором пределы интегрирования будут расставлены следующим образом: Сначала вычислим внутренний интеграл по , считая константой: Вычислить двойной интеграл, если область — единичный круг с центром в начале координат.

Онлайн калькуляторы На нашем сайте собрано более бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике. Справочник Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся.

Тогда двойной интеграл по области выражается через повторные по формуле:. Если же область интегрирования — элементарна относительно оси рис. При решении задач иногда полезно разбить исходную область интегрирования на две или более областей и вычислять двойной интеграл в каждой области отдельно. Далее вычисляем внутренний интеграл по , считая, что константа. Для вычисления заданного двойного интеграла перейдем к повторному, в котором пределы интегрирования будут расставлены следующим образом:.

Если область, по которой вычисляется интеграл, является кругом или его частью, то интеграл проще вычислять в полярных координатах. Вычислить двойной интеграл, если область ограничена эллипсом и осями координат. Для вычисления данного интеграла перейдем к обобщенным полярным координатам: С помощью двойного интеграла, вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: Вычислим этот интеграл, начиная с внутреннего:

Сначала вычислим внутренний интеграл по , считая константой:. В декартовых координатах уравнение единичной окружности с центром в начале координат имеет вид: Учитывая, что по определению , получим, что лежит в пределах.

Решение Если область, по которой вычисляется интеграл, является кругом или его частью, то интеграл проще вычислять в полярных координатах. Перейдем к полярным координатам: Подынтегральная функция в полярной системе координат примет вид: Подставляя эту замену в исходный интеграл и переходя от двойного к повторному, получим: Так как внутренний интеграл не зависит от , то его можно вычислить отдельно , осталось вычислить внутренний интеграл по: Решение Для вычисления данного интеграла перейдем к обобщенным полярным координатам: Запишем в полярной системе координат уравнение эллипса: Подставляя эту замену в исходный интеграл и переходя от двойного к повторному интегралу, получим: Вычислим сначала внутренний интеграл, при этом функцию от будем считать константой: Вычислить интеграл, если область является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат, причем.

Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание! Заказать решение Не можете решить контрольную?! Примеры решения определенных интегралов Примеры решения интегралов Примеры решения сложных интегралов Примеры решения неопределенных интегралов Методы решения интегралов.

Так как интегрирование производится по всей окружности, то лежит в пределах. Подынтегральная функция в полярной системе координат примет вид:. Так как внутренний интеграл не зависит от , то его можно вычислить отдельно , осталось вычислить внутренний интеграл по:. Область представляет собой часть эллипса центр которого лежит в начале координат , лежащего в первой четверти. Поэтому будет лежать в пределах. Запишем в полярной системе координат уравнение эллипса:. Так как по определению , получим, что лежит в пределах.

Подставляя эту замену в исходный интеграл и переходя от двойного к повторному интегралу, получим:. Вычислим сначала внутренний интеграл, при этом функцию от будем считать константой:. В последнем интеграле сделаем замену , пределы интегрирования: Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

Главная Примеры решений Примеры решения двойных интегралов. Тогда двойной интеграл по области выражается через повторные по формуле: Решение Для вычисления этого двойного интеграла перейдем к повторному интегралу: Решение Сделаем рисунок рис.