Примеры решения корней с дробями

В качестве примера приведем. Квадратный корень из числа 2 не извлекается, однако может быть найдено его приближенное значение с точностью до любого десятичного разряда, например, способ нахождения значений подобных корней мы рассмотрим в последнем пункте этой статьи. Пришло время разобрать способы извлечения корней. Они базируются на свойствах корней , в частности, на равенстве , которое справедливо для любого неотрицательного числа b.

Дальше мы разберем извлечение корня из дробного числа, в частности, из обыкновенной дроби, десятичной дроби и смешанного числа. Перейти к этому разделу…. Наконец, рассмотрим способ, позволяющий последовательно находить разряды значения корня. В самых простых случаях извлекать корни позволяют таблицы квадратов, кубов и т. Что же представляют собой эти таблицы? Таблица квадратов целых чисел от 0 до 99 включительно она показана ниже состоит из двух зон. Первая зона таблицы располагается на сером фоне, она с помощью выбора определенной строки и определенного столбца позволяет составить число от 0 до Для примера выберем строку 8 десятков и столбец 3 единицы, этим мы зафиксировали число Вторая зона занимает оставшуюся часть таблицы.

Разберем этот способ решения. Разложим на простые множители: На основании свойств степени с натуральным показателем с полученным разложением можно провести такие преобразования: Используя свойства степени и свойства корней , решение можно было оформить и немного иначе: Является ли значение корня целым числом?

Понятно, что таблицы n -ых степеней очень удобны при извлечении корней. Однако их частенько не оказывается под руками, а их составление требует определенного времени. Более того, часто приходится извлекать корни из чисел, которые не содержатся в соответствующих таблицах. В этих случаях приходится прибегать к другим методам извлечения корней. Достаточно удобным способом, позволяющим провести извлечение корня из натурального числа если конечно корень извлекается , является разложение подкоренного числа на простые множители.

Из этого равенства следует правило извлечения корня из дроби: По таблице квадратов находим, что квадратный корень из числителя исходной дроби равен 5 , а квадратный корень из знаменателя равен Корень из десятичной дроби или смешанного числа извлекается после замены подкоренных чисел обыкновенными дробями.

Эта статья продолжает тему корень из числа. Здесь мы разберемся с извлечением корня. Сначала определим, что называют извлечением корня, и установим, когда корень извлекается. Дальше изучим принципы, на которых основано нахождение значения корня, после чего на примерах рассмотрим основные способы извлечения корней из натуральных чисел, а затем и из дробных чисел.

Извлеките кубический корень из десятичной дроби , Представим исходную десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: Осталось извлечь кубические корни, находящиеся в числителе и знаменателе полученной дроби. Осталось лишь завершить вычисления. Отдельно стоит остановиться на извлечении корней из отрицательных чисел. При изучении корней мы сказали, что когда показатель корня является нечетным числом, то под знаком корня может находиться отрицательное число.

Таким записям мы придали следующий смысл: Это равенство дает правило извлечения корней нечетной степени из отрицательных чисел: Преобразуем исходное выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительное число: Теперь смешанное число заменим обыкновенной дробью: Применяем правило извлечения корня из обыкновенной дроби: Осталось вычислить корни в числителе и знаменателе полученной дроби: Приведем краткую запись решения: В общем случае под корнем находится число, которое при помощи разобранных выше приемов не удается представить в виде n -ой степени какого-либо числа.

Если же подкоренное число a не представляется в виде n -ой степени некоторого числа b , то говорят, что корень n -ой степени из числа a не извлекается. В этом случае либо записанное выражение со знаком корня не имеет смысла на множестве действительных чисел например, или , либо записанное выражение имеет смысл, но может быть получено лишь приближенное значение такого корня с точностью до любого десятичного разряда.

Извлечением корня называется нахождение значения корня. Итак, извлечение корня n -ой степени из числа a — это нахождение числа b , n-ая степень которого равна a. Когда такое число b найдено, то можно утверждать, что мы извлекли корень. Говорят, что корень n -ой степени из числа a извлекается точно , когда подкоренное число a возможно представить в виде n -ой степени некоторого числа b. Например, из числа 8 извлекается кубический корень, так как число 8 можно представить как куб числа 2.

Чтобы ответить на этот вопрос, разложим подкоренное число на простые множители и посмотрим, представимо ли оно в виде куба целого числа. Полученное разложение не представляется в виде куба целого числа, так как степень простого множителя 7 не кратна трем.

Будем перебирать значения 0, 1, 2, …, 9 , вычисляя соответственно 0 2 , 1 2 , …, 9 2 до того момента, пока не получим значение, большее подкоренного числа 5. Все эти вычисления удобно представлять в виде таблицы: Переходим к нахождению значения разряда десятых.

Начнем с самого простого случая — с извлечения корней из натуральных чисел с использованием таблицы квадратов, таблицы кубов и т. Если же таблицы квадратов, кубов и т. Перейти к изучению этого способа…. Отдельно стоит остановиться на извлечении корня из отрицательного числа , что возможно для корней с нечетными показателями.

Но при этом бывает необходимость знать значение данного корня, хотя бы с точностью до некоторого знака. В этом случае для извлечения корня можно воспользоваться алгоритмом, который позволяет последовательно получить достаточное количество значений разрядов искомого числа. На первом шаге данного алгоритма нужно выяснить, каков старший разряд значения корня. Для этого последовательно возводятся в степень n числа 0, 10, , … до того момента, когда будет получено число, превосходящее подкоренное число.

Его суть заключается в следующем: Пусть из натурального числа a извлекается корень n -ой степени, и его значение равно b. Извлеките квадратный корень из Но в свете данного пункта нас интересует, как извлекается корень с помощью разложения подкоренного числа на простые множители.

Каждая ее ячейка находится на пересечении определенной строки и определенного столбца, и содержит квадрат соответствующего числа от 0 до На пересечении выбранной нами строки 8 десятков и столбца 3 единицы находится ячейка с числом 6 , которое является квадратом числа Таблицы кубов, таблицы четвертых степеней чисел от 0 до 99 и так далее аналогичны таблице квадратов, только они во второй зоне содержат кубы, четвертые степени и т. Таблицы квадратов, кубов, четвертых степеней и т.

Сначала определяем старший разряд. Для этого возводим в куб числа 0, 10, и т. Таким образом, значение разряда единиц равно 2.

Тогда число, которое мы возводили в степень n на предыдущем этапе, укажет соответствующий старший разряд. Для примера рассмотрим этот шаг алгоритма при извлечении квадратного корня из пяти. Берем числа 0, 10, , … и возводим их в квадрат, пока не получим число, превосходящее 5. Значение этого разряда, а также более младших, будет найдено на следующих шагах алгоритма извлечения корня.

При этом параллельно вычисляются n -ые степени соответствующих чисел, и они сравниваются с подкоренным числом. Если на каком-то этапе значение степени превзойдет подкоренное число, то значение разряда, соответствующее предыдущему значению, считается найденным, и производится переход к следующему шагу алгоритма извлечения корня, если же этого не происходит, то значение этого разряда равно 9. Сначала находим значение разряда единиц.

Объясним принцип их применения при извлечении корней. Допустим, нам нужно извлечь корень n -ой степени из числа a , при этом число a содержится в таблице n -ых степеней. Тогда , следовательно, число b будет искомым корнем n -ой степени. В качестве примера покажем, как с помощью таблицы кубов извлекается кубический корень из 19 Находим число 19 в таблице кубов, из нее находим, что это число является кубом числа 27 , следовательно,.

Все следующие шаги алгоритма имеют целью последовательное уточнение значения корня за счет того, что находятся значения следующих разрядов искомого значения корня, начиная со старшего и продвигаясь к младшим. К примеру, значение корня на первом шаге получается 2 , на втором — 2,2 , на третьем — 2,23 , и так далее 2,…. Опишем, как происходит нахождение значений разрядов. Нахождение разрядов проводится за счет перебора их возможных значений 0, 1, 2, …, 9.

При этом будем возводить в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, …, 2,9 , сравнивая полученные значения с подкоренным числом 5: Можно переходить к нахождению значения разряда сотых: Так найдено следующее значение корня из пяти, оно равно 2, И так можно продолжать дальше находить значения: Для закрепления материала разберем извлечение корня с точностью до сотых при помощи рассмотренного алгоритма.

Следовательно, кубический корень из числа не извлекается нацело. Пришло время разобраться, как извлекается корень из дробного числа. Согласно свойству корня из частного справедливо следующее равенство.