Примеры решения функций на непрерывность

В точке функция имеет разрыв второго рода , если либо предел слева , либо предел справа , не существует или бесконечен. Исследовать функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, сделать чертеж.

Так как функция непрерывна при любом действительном х , то Следовательно, пределы слева и справа равны, а сама функция в точке не определена, поэтому, в точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.

Этим мы показали, что пределы слева и справа равны, следовательно, существует предел функции в точке , причем Вычислив значение функции в точке можно говорить о выполнении равенства , это доказывает непрерывность исходной функции в точке.

Точку в этом случае называют точкой скачка функции. Исследовать кусочно-непрерывную функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, сделать чертеж. Разрывы могут быть лишь в точках или. Найдем пределы слева и справа от этих точек, а также значения исходной функции в этих точках. Слева от точки наша функция есть и в силу непрерывности линейной функции. В самой точке наша функция есть , поэтому.

Рассмотрим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к справа. Легко показать, что эта последовательность бесконечно большая положительная, поэтому,. Следовательно, в точке функция имеет разрыв второго рода.

Ни одну часть сайта www. Функции, исследование функций Непрерывность функции в точке, разрывы первого и второго рода. Определение непрерывности функции в точке.

Примером такой последовательности может являться Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид На рисунке соответствующие значения показаны зелеными точками. Примером такой последовательности может являться Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид На рисунке соответствующие значения показаны синими точками.

На промежутке наша функция есть и в силу непрерывности квадратичной функции В точке наша функция есть , поэтому. Справа от наша функция есть и в силу непрерывности линейной функции В итоге имеем: Например, и соответствующую ей последовательность значений функции Легко показать, что эта последовательность бесконечно большая отрицательная, поэтому,.

Исследование функции на непрерывность связано с нахождением односторонних пределов функции. Так что рекомендуем ознакомится с разделом Предел функции, основные определения и понятия , прежде чем двигаться дальше.

Рекомендуем ознакомиться с разделом Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и подробные решения. Охраняется законом об авторском праве.

Следовательно, пределы слева и справа равны, а сама функция в точке не определена, поэтому, в точке функция имеет устранимый разрыв первого рода. В точке функция имеет неустранимый разрыв первого рода , если пределы слева и справа НЕ равны, то есть.

Доказать непрерывность функции в точке. Во-первых, покажем существование предела слева. Для этого возьмем последовательность аргументов , сходящуюся к , причем. Примером такой последовательности может являться. Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид.

Функция f x называется непрерывной в точке , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке , то есть.

В точке функция имеет устранимый разрыв первого рода , если предел слева равен пределу справа, но они не равны значению функции в точке ,то есть. Найти точки разрыва функции и определить их тип. Находим область определения функции: Точкой разрыва нашей функции может быть только граничная точка области определения, то есть. Проверим функцию на непрерывность в этой точке. На области определения выражение можно упростить: Находим пределы слева и справа. Так как функция непрерывна при любом действительном х , то.

На промежутке наша функция есть и в силу непрерывности квадратичной функции. В точке наша функция есть , поэтому. Справа от наша функция есть и в силу непрерывности линейной функции.

Областю определения функции является интервал. Найдем пределы функции слева и справа от точки. Рассмотрим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к слева. Например, и соответствующую ей последовательность значений функции. Легко показать, что эта последовательность бесконечно большая отрицательная, поэтому,.

На рисунке соответствующие значения показаны зелеными точками. Легко видеть, что эта последовательность сходится к -2 , поэтому. Во-вторых, покажем существование предела справа. На рисунке соответствующие значения показаны синими точками. Легко видеть, что эта последовательность также сходится к -2 , поэтому.

Например, и соответствующую ей последовательность значений функции Легко показать, что эта последовательность бесконечно большая положительная, поэтому,.

Этим мы показали, что пределы слева и справа равны, следовательно, существует предел функции в точке , причем. Вычислив значение функции в точке можно говорить о выполнении равенства , это доказывает непрерывность исходной функции в точке.