Примеры решения области определения функции

Что такое потенциально опасные операции? Это операции, в которых существуют принципиальные ограничения. Не пугайтесь, таких операций всего ничего и вы их прекрасно знаете.

Нет такой операции в математике! На любые числа делить можно, а на ноль - нельзя. Стало быть, областью определения этой конкретной функции будут все числа, кроме нуля. Этот пример приведён чисто для понимания. Разумеется, перебирать числа, задумчиво глядя на функцию, как-то глупо, да В математике так не делают.

Говоря по-простому, это те значения икса, для которых можно посчитать игрек. Можно брать любое значение икса, целое, дробное, отрицательное, иррациональное - игрек всё равно посчитать можно. Точно, или приближённо, не суть важно. Нет никаких принципиальных запретов. Значит, для этой функции, все значения икса будут допустимыми. Значит, областью определения этой функции будут все действительные числа.

Правильный подход к области определения функции описан далее. Но сначала - одно важное замечание, чтобы потом не путаться. Это законы и правила, которые всегда должны выполняться. Эти правила не зависят от нашего желания и вида задания. Область определения по этим правилам иногда называют "естественной". Это дополнительные ограничения на область определения функции, которые могут быть а могут и не быть в любом конкретном задании и зависят исключительно от составителя задания.

Областью определения функции будут все действительные числа, кроме нуля. Запись очень похожа на запись ответа для неравенств, правда? И там и здесь - запись промежутков числовой оси. Мы ничего не решаем! Не упрощаем, не складываем дроби, не раскладываем на множители, не извлекаем корни, ни-че-го!

В ответе получится как раз область определения этой функции. Как видим, функция может быть каким угодно монстром. Но в процессе осмотра и соответствующих записей мы получаем системку неравенств, которая вполне решаема. Не знаете, как решать системы!? Ну, это вопрос не к функциям Как решать квадратные неравенства можно посмотреть по ссылке. Там, кстати, решено с пояснениями именно наше квадратное неравенство. Последовательный осмотр и запись системы неравенств обычно особого труда не составляют.

Итак, нам надо найти все допустимые значения икса для какой-то конкретной функции. Самый широкий набор значений, как правило - это все действительные числа. Перебирать все возможные числа мы не будем, да В математике поступают по-другому. Работаем в два этапа.

На первом этапе ищем в функции операции, которые могут оказаться недопустимыми при каких-то значениях икса. На втором этапе определяем иксы, которые не приводят к запретному действию в этих самых операциях. Это и будет область определения функции.

И тригонометрии тоже нет. В этой функции не может получиться никаких запретных действий. Какой бы икс мы не взяли. Этих действий в функции просто не содержится. Опять ищем потенциально опасные операции. Не забыли, что дробь - это деление? Переходим ко второму этапу. Определяем иксы, которые не приводят к запретному действию, то есть делению на ноль. Собственно, к делению на ноль приводит лишь одно значение икса: Следовательно, все остальные значения безопасны.

Независимая переменная аргумент x и зависимая переменная функция y. Все допустимые разрешённые значения аргумента x и есть область определения функции. Что такое "допустимые значения"?

Не икс, а всё подкоренное выражение, целиком. А то так и норовят его написать Корень нам не нужен, нас интересует только подкоренное выражение. Так, с корнем разобрались, идём дальше. В нём есть деление на выражение с иксом. Знаменатель весь знаменатель, целиком! Осталось решить эту систему.

В математике бесконечное множество функций. И у каждой - свой характер. Для работы с самыми разнообразными функциями нужен единый подход. Иначе, какая же это математика?!

Мы именно осматриваем функцию. Любые преобразования могут изменить область определения функции и мы получим неверный ответ. Сразу же выполняем и второй этап: Итак, в первом слагаемом видим квадратный корень из выражения с иксом. Это потенциально опасная операция. Под корнем, при каких-то иксах, может оказаться отрицательное число.

И такой подход есть! При работе с любой функцией мы предъявляем ей стандартный набор вопросов. И первый, самый важный вопрос - это область определения функции. Иногда эту область называют множеством допустимых значений аргумента, областью задания функции и т. Что такое область определения функции? Эти вопросы частенько представляются сложными и непонятными Хотя, на самом деле, всё чрезвычайно просто. В чём вы сможете убедиться лично, прочитав эту страничку. В элементарном понятии функции фигурируют две величины.

Разумеется, функция может быть такой замороченной, что и не посчитаешь ничего, да Нам ведь не считать надо, а область определения найти. Чуть ниже мы научимся легко и элегантно расправляться с любыми функциями. Слова "можно посчитать в принципе ", " принципиальные запреты" я не зря употребил. Вот вам другой простенький пример. Идём по проторенной дорожке. Нельзя на ноль делить.

Обезопасим себя вот такой записью второй этап:. Квадратный корень извлекается только из положительных чисел и нуля. Всё подкоренное выражение должно быть больше, либо равно нулю.

Хуже, когда потенциально опасные операции ещё и наслаиваются друг на друга. Здесь требуется пристальное внимание, чтобы чего не упустить. На первом этапе замечаем квадратный корень. Сразу пишем условие для всего подкоренного выражения:

Теперь самое время применить эти знания в деле. Найдём область определения самой первой функции. Не перебором, а вполне научно:. Ищем в этой функции потенциально опасные операции.