Решение тройных интегралов в цилиндрических координатах

Свойство 1 линейность тройного интеграла по подынтегральной функции. Свойство 2 аддитивность тройного интеграла по области интегрирования. Свойство 3 о значении тройного интеграла от функции, тождественно равной единице. Свойство 4 оценки значения тройного интеграла. Если m и M — наименьшее и наибольшее значения функции f x , y , z в замкнутой области V , то. Свойство 5 теорема о среднем значении подынтегральной функции. В декартовых координатах область V , правильная в направлении оси OZ , записывается системой неравенств.

Сводим тройной интеграл к трехкратному по формуле 1 в соответствии с системой. Границы изменения цилиндрических координат для всех точек пространства:.

Запишем область V системой трёх неравенств: Границы изменения цилиндрических координат для всех точек пространства: Теперь сводим тройной интеграл к трехкратному в соответствии с системой неравенств и вычисляем его: Запишем неравенствами область V в сферических координатах:

Перевод тройного интеграла к цилиндрическим координатам и сведение его к повторному трехкратному интегралу осуществляется следующими действиями:.

Если двумерную область D также записать системой неравенств , то трехмерная область V запишется системой трех неравенств. Существует всего 6 вариантов сведения тройного интеграла к трехкратному в декартовых координатах в зависимости от выбранного порядка интегрирования. Пример 1 вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

Вычислить , если область V ограничена поверхностями. Границы изменения сферических координат для всех точек пространства:. Связь сферических и декартовых координат выводится геометрически:. Замена переменных в тройном интеграле осуществляется в общем случае по формуле, аналогичной формуле замены переменных в двойном интеграле. В частности, при переходе к сферическим координатам эта формула имеет вид:.

Если выполнить все указанные подстановки, то получится формула вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах:. Таким образом, бесконечно Формула вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах малый элемент объема в цилиндрических координатах получается следующим: Пример 2 вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.

Бесконечно малый элемент объема в сферических координатах имеет вид: Далее тройной интеграл сводится к трехкратному в соответствии с неравенствами для области V в сферических координатах. Эффективно переводить в сферические координаты тройной интеграл по областям, в границах которых есть сфера. Пример 3 вычисление тройного интеграла в сферических координатах. Запишем неравенствами область V в сферических координатах:. Переводим данный тройной интеграл в сферические координаты по формуле 3 и сводим его к трехкратному интегралу в соответствии с системой неравенств:.