Решение систем уравнений с двумя переменными

Ну а теперь давайте с вами рассмотрим алгоритм решения системы двух уравнений с 2-мя неизвестными графическим методом:. Давайте этот метод рассмотрим более подробно на примере.

В результате алгебраического сложения двух уравнений исходной системы получилось уравнение, более простое, чем первое и второе уравнения заданной системы. Этим более простым уравнением мы имеем право заменить любое уравнение заданной системы, например второе.

Методы решения систем уравнений. В этом параграфе мы обсудим три метода решения систем уравнений , более надежные, чем графический метод, который рассмотрели в предыдущем параграфе.

И так, система уравнений может иметь единственное решение в случае, если прямые, которые являются графиками уравнений системы, пересекаются. Если же эти прямые параллельны, то такая система уравнений абсолютно не имеет решений. В случае же совпадения прямых графиков уравнений системы, то тогда такая система позволяет найти множество решений.

Переменные х и у, разумеется, равноправны, поэтому с таким же успехом мы можем на первом шаге алгоритма выразить не у через х, а х через у из одного уравнения.

Этот метод мы применяли в 7-м классе для решения систем линейных уравнений. Тот алгоритм, который был выработан в 7-м классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений не обязательно линейных с двумя переменными х и у разумеется, переменные могут быть обозначены и другими буквами, что не имеет значения. Фактически этим алгоритмом мы воспользовались в предыдущем параграфе, когда задача о двузначном числе привела к математической модели, представляющей собой систему уравнений.

Воспользуемся методом подстановки, тем более что здесь для него все готово: Тем самым получены два решения заданной системы: Решим вторую систему уравнений:. Снова воспользуемся методом подстановки: Это уравнение не имеет корней, значит, и система уравнений не имеет решений. Таким образом, в ответ надо включить только решения первой системы.

А из этого следует, что данные числа являются и решениями этой системы уравнений. Мордкович Алгебра 9 класс. При использовании материалов ресурса ссылка на edufuture. Ждем Ваши замечания и предложения на email: По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: Разработка - Гипермаркет знаний Ждем Ваши замечания и предложения на email: Методы решения систем уравнений Содержание 1 Какие существуют методы решения систем уравнения?

Суть метода напомним на следующем примере. Умножим все члены первого уравнения системы на 3, а второе уравнение оставим без изменения: Вычтем второе уравнение системы из ее первого уравнения:.

Выразить у через х из одного уравнения системы. Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы. Решить полученное уравнение относительно х. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения вместо х в выражение у через х, полученное на первом шаге. Записать ответ в виде пар значений х; у , которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шаге.

Метод введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными применяется в двух вариантах. Именно так обстояло дело в примере 3. Так будет обстоять дело в примере 4. Это позволит переписать заданную систему в значительно более простом виде, но относительно новых переменных а и b:. Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения:.

Эту систему уравнений мы решили выше методом подстановки см. Алгоритм использования метода подстановки при решении системы двух уравнений с двумя переменными х, у.

В предыдущем параграфе мы ввели понятие равносильности для уравнений с двумя переменными. Используют это понятие и для систем уравнений. Две системы уравнений с переменными х и у называют равносильными, если они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений. Все три метода подстановки, алгебраического сложения и введения новых переменных , которые мы обсудили в этом параграфе, абсолютно корректны с точки зрения равносильности. Иными словами, используя эти методы, мы заменяем одну систему уравнений другой, более простой, но равносильной первоначальной системе.

Обычно выбирают то уравнение, которое представляется более простым, и выражают ту переменную из него, для которой эта процедура представляется более простой. Этот метод, как и метод подстановки, знаком вам из курса алгебры 7-го класса, где он применялся для решения систем линейных уравнений.

Таким образом, относительно переменных а и b мы получили одно решение:. Возвращаясь к переменным х и у, получаем систему уравнений. Таким образом, относительно переменных х и у мы получили одно решение:. Завершим этот параграф кратким, но достаточно серьезным теоретическим разговором. Вы уже накопили некоторый опыт в решении различных уравнений: Вы знаете, что основная идея решения уравнения состоит в постепенном переходе от одного уравнения к другому, более простому, но равносильному заданному.

Нам дана система уравнений, которую необходимо решить:. Но следует заметить, что данным графиком уравнений будет окружность, имеющая центр в начале координат, а ее радиус будет равен трем. Смотрим, что у нас получилось. Мы видим, что прямая пересекает окружность в двух ее точках A и B. Теперь мы с вами ищем координаты этих точек.

Осталось подставить найденные значения х в формулу. Таким образом, мы нашли два решения системы: С методом введения новой переменной при решении рациональных уравнений с одной переменной вы познакомились в курсе алгебры 8-го класса. Суть этого метода при решении систем уравнений та же самая, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности, которые мы и обсудим в следующих примерах. Введем новую переменную Тогда первое уравнение системы можно будет переписать в более простом виде: Решим это уравнение относительно переменной t:.

Тогда заданная система уравнений заменится более простой системой:. Эту систему можно решить методом подстановки. Из второго уравнения находим Подставив это выражение вместо у в первое уравнение системы, получим.

Мы уже с вами научились решать системы уравнений такими распространенными и надежными способами, как метод подстановки, алгебраического сложения и введения новых переменных. А теперь давайте с вами вспомним, метод, который вы уже изучали на предыдущем уроке. То есть давайте повторим, что вы знаете о графическом методе решения. Метод решения систем уравнения графическим способом представляет собой построение графика для каждого из конкретных уравнений, которые входят в данную систему и находятся в одной координатной плоскости, а также где требуется найти пересечения точек этих графиков.

Для решения данной системы уравнений являются координаты этой точки x; y. Следует вспомнить, что для графической системы уравнений свойственно иметь либо одно единственное верное решение, либо бесконечное множество решений, либо же не иметь решений вообще. А теперь на каждом из этих решений остановимся подробнее.

Оба эти значения удовлетворяют условию , а потому являются корнями рационального уравнения с переменной t. Иными словами, задача сводится к решению двух систем уравнений:. Надо найти решения первой системы, второй системы и все полученные пары значений включить в ответ. Решим первую систему уравнений:.