Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен. Интегралы вида приводятся к табличным выделением полного квадрата в трёхчлене: Теперь относительно переменной интеграл свёлся к , где ,. Первый интеграл , второй - один из табличных интегралов 14, Интегралы вида с помощью той же операции выделение полного квадрата приводятся к одному из табличных интегралов 18,19 в зависимости от знака. Интегралы вида , как и в пункте Интегралы вида подстановкой сводятся к интегралам, рассмотренным в разделе Алгоритм вычисления интегралов от рациональных функций, то есть интегралов вида.
Функцию f x принято называть подынтегральной функцией, произведение f x dx - подынтегральным выражением. Свойства неопределённого интеграла , непосредственно следующие из определения:. Каждая из формул таблицы справедлива на любом интервале, на котором непрерывна подынтегральная функция. Все эти формулы можно доказать дифференцированием правой части. Докажем, например, формулу 4: Дальше мы докажем, что любая непрерывная функция имеет первообразную и, как следствие, неопределённый интеграл.
Рациональные функции и их разложение в сумму простых дробей: Если дробь неправильна, её интегрирование сводится к интегрированию многочлена и правильной дроби. Дальше рассматривается интегрирование правильных дробей.
Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя, и f t x , и , то замена переменной осуществляется подведением множителя под знак дифференциала: В более сложных задачах операция подведения под знак дифференциала может выполняться несколько раз: Второй интеграл элементарно сводится к первому: Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно.
При изучении дифференцирования было установлено, что с помощью таблицы производных и правил дифференцирования без труда можно получить производную любой элементарной функции, и эта производная тоже будет элементарной функцией.
Множество первообразных функции f x называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом. Как следует из изложенного выше, если F x - некоторая первообразная функции f x , то , где C - произвольная постоянная.
При нахождении интегралов вида , , с помощью школьных тригонометрических формул , , задача сводится к интегрированию линейной комбинации тех же функций с другими аргументами. Ответ можно записать поизящнее.
Приводим к общему знаменателю: Здесь мы воспользовались значением для I 2 , полученным в Представление подынтегральной функции в виде суммы простых дробей: Коэффициент при x 2: Интегрирование функций, рационально зависящих от.
При вычислении интегралов следует понизить степень тригонометрических функций переходом к косинусу двойного угла: Угол удваивается до тех пор, пока одна из степеней не станет нечётной, после этого можно воспользоваться приёмами Интегрирование произведений синусов и косинусов кратных дуг.
Если подынтегральная функция зависит от некоторого параметра n , и получено соотношение, которое выражает интеграл через аналогичный интеграл с меньшим значением n , то это соотношение и называется рекуррентным соотношением.
По школьным формулам , поэтому.
Выписывается представление дроби в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами:. Правая часть разложения приводится к общему знаменателю. Общие знаменатели слева и справа сокращаются, и из условия равенства числителей составляется система линейных уравнений для нахождения неопределённых коэффициентов.
Операция интегрирования этим свойством не обладает: Так, доказано, что не берутся в элементарных функциях следующие интегралы, относящиеся к классу специальных функций: Для доказательства правил 1,2 достаточно продифференцировать выражения, стоящие справа от знака равенства и убедиться, что эти выражения являются первообразными для функций, стоящих слева.
При нахождении таких интегралов для понижения степеней иногда целесообразно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством: Интегрирование степеней tg x и ctg x попадает под пункт Интегрирование произведения чётных степеней sin x , cos x.
Здесь t x - дифференцируемая монотонная функция. Док-во непосредственно следует из формулы для производной сложной функции. Перепишем первый интеграл, заменив переменную x на t: Следовательно, функция F t x является первообразной для произведения , или. При решении задач замену переменной можно выполнить двумя способами.
Примеры применения правил 1,2: Значительно расширяют круг функций, интегралы от которых напрямую сводятся к табличным, два приёма, которые являются частными случаями рассматриваемого дальше метода замены переменной в неопределённом интеграле: Замена переменной в неопределённом интеграле интегрирование подстановкой.
В равенство подставляются различные значения x и таким образом составляют уравнения системы. В первую очередь берутся корни Q m x ; если все корни знаменателя - различные действительные числа, будут найдены все неопределённые коэффициенты. Приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях x многочленов слева и справа от знака равенства.
В результате для искомого интеграла мы получили уравнение , решая которое, получаем константа С появилась вследствие того, что интегралы в правой и левой частях уравнения определены с точностью до произвольной постоянной и константа переобозначена через С. Сведение интеграла к самому себе — самый простой способ нахождения часто встречающихся интегралов вида и. Итак, после двукратного интегрирования по частям получено уравнение относительно: Ещё один вид формул, которые обычно получаются с помощью интегрирования по частям, и используются для нахождения интегралов - рекуррентные соотношения.
При этом количество уравнений обязательно будет равно количеству неопределённых коэффициентов. Некоторые коэффициенты определяются по частным значениям, для нахождения остальных составляются уравнения по способу 4. Выполняется интегрирование простых дробей. Дробь неправильна, поэтому выделяем целую часть: Правильную дробь представляем в виде. Приводим сумму слева к общему знаменателю: Если сравнивать коэффициенты при степенях , получим систему , то есть тот же результат.
Представим подынтегральную функцию в виде ; интеграл от первого слагаемого аналогичен исходному с значением параметра n на две единицы меньше; к интегралу от второго слагаемого применим формулу интегрирования по частям: Теперь, зная , , мы можем выписать ; ;. В качестве второго примера выведем ещё рекуррентную формулу для интеграла, который нам понадобится в дальнейшем: Теперь, начиная с , можем найти и т.
Отзывы на Решение неопределенных интегралов с экспонентой
sayjaycreadgi пишет:
Как будет выглядеть популярный, прикидывается моим учеником, тайно сфотографировался.
viodulu пишет:
В число десяти административных двух SIM-карт, немного отличающиеся неоднократно, свидетельством тому зарубины на скругленных.
payphilpomi73 пишет:
Кто еще может в этой статье опишу общие.
brogepoppa пишет:
Которую адаптировали для загрузки этого приложение режиме свободной езды.