Решение двойных интегралов с подробным решением

Понять, что такое двойной интеграл, проще, когда решены несколько задач на его вычисление, поэтому определение двойного интеграла вы найдёте в конце этого урока.

Поэтому разобьём область интегрирования на три части прямыми, которые на рисунке начерчены чёрным. Пределы для трёх новых областей интегрирования будут следующими. Соответственно этому решению повторный интеграл после смены порядка интегрирования будет равным сумме трёх интегралов:.

А если двойной интеграл - отрицательное число, то площадь равна его модулю. Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла имеет более универсальный характер, чем вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определённого интеграла. С помощью двойного интеграла можно вычислять площади не только криволинейной трапеции, но и фигур, расположенных произвольно по отношению к к координатным осям.

В этом параграфе даны примеры, в которых двойной интеграл равен отрицательному числу. Но, как отмечалось в теоретической справке в начале урока, площадь области интегрирования равна самому двойному интегралу.

Чуть забегая вперёд, можно лишь отметить, что определение двойного интеграла также связано с упоминавшейся фигурой D. В случае если фигура D представляет собой прямоугольник, все линии, ограничивающие её — это прямые линии. Если фигура D - криволинейна, то слева и справа она ограничена прямыми, а сверху и снизу — кривыми линиями, заданными равенствами, которые даны в задании.

Тогда, если левый интеграл у нас по переменной x , а правый - по y , то после смены порядка интегрирования всё будет наоборот. Тогда пределы интегрирования для "нового" игрека нужно "позаимствовать" у "старого" икса, а пределы интегрирования для "нового" икса получить в виде обратной функции , разрешив относительно икса уравнение, задававшее предел для игрека. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла. После смены порядка интегрирования интеграл по игреку станет левым, а интеграл по иксу - правым.

Здесь D — плоская фигура, ограниченная линиями, выражения которых равенства даны в задании вычисления двойного интеграла. Слева и справа — равенствами, в которых слева переменная x , а сверху и снизу — равенствами, в которых слева переменная y. Это место и далее — одно из важнейших для понимания техники вычисления двойного интеграла. Вычислить двойной интеграл - значит найти число, равное площади упомянутой фигуры D. Пока мы не касаемся определения двойного интеграла , а будем учиться его вычислять.

Бывают и случаи, когда фигура D — треугольник, но о таких случаях чуть дальше. Для вычисления двойного интеграла нужно, таким образом, рассортировать линии, огранивающие фигуру D , которая имеет строгое название — область интегрирования.

Тогда требуется разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный интеграл отдельно. Поскольку разбиение области интегрирования на части представляет определённые трудности для многих студентов, то не ограничимся примером, приведённым в предыдущем параграфе, а разберём ещё пару примеров.

Диаметром области D условимся называть наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Учитывается также наибольший из диаметров частичных областей. Записывается двойной интеграл так: Пусть для такой функции существует двойной интеграл. Вычислить двойной интеграл , где. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу. На чертеже строим область интегрирования: Вычисляем внутренний правый интеграл, считая игрек константой.

Такой случай будет разобран в примере 3. Как и в случае прямолинейной области, сначала нужно вычислять правый определённый интеграл, затем - левый определённый интеграл. Точно так же можно поменять ролями x и y. Теперь вычисляем внешний левый интеграл от вычисленного только что внутреннего правого. Сначала представляем этот интеграл в виде суммы интегралов:. Случается, область интегрирования двойного интеграла ограничена такими линиями, что возникает необходимость разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный интеграл отдельно.

Вычисляется этот двойной интеграл так:

На чертеже строим область интегрирования и видим, что она треугольная: Сначала представляем этот интеграл в виде суммы интегралов: Получаем сумму, которая и будет решением данного двойного интеграла: Нет времени вникать в решение?

Соответственно этому решению повторный интеграл после смены порядка интегрирования будет равным сумме двух интегралов:. Естественно, таким же будет решение двойного интеграла, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера. Как видно на рисунке ниже, прямая, параллельная оси 0x , будет пересекать нижнюю границу области интегрирования более чем в двух точках.

Иными словами, и - функции. Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид. Здесь пределы интегрирования a и b - числа, а и - функции. В случае треугольной области одна из функций или - это уравнение прямой линии.

Теперь вычисляем внешний левый интеграл от вычисленного только что внутреннего правого: Результат и будет решением данного двойного интеграла. Вычисляем внутренний правый интеграл, считая икс константой.

Найти пределы интегрирования двойного интеграла, если область интегрирования D задана следующим образом:. В явном виде через x и y "без примесей" линии, ограничивающие область интегрирования, не заданы. Так как для икса ими чаще всего оказываются прямые, касающиеся в одной точке верхней и нижней границ, выраженных через игрек, то пойдём именно по этому пути.

При интегрировании в другом порядке нижняя граница области состоит из двух прямых: Выход из такой неопределённости состоит в разбиении области интегрирования на две части. Делить область интегрирования будет прямая BМ. Новые пределы интегрирования вычисляем, находя обратную функцию.

Таким образом, после смены порядка интегрирования повторный интеграл запишется так:. После смены порядка интегрирования в двойном интеграле нередко область интегрирования превращается в y -неправильную или x -неправильную см.

Если вышесказанное относится к левой или правой границе области интегрирования, то есть ограничениях, заданных линиями, выраженными через x , то область интегрирования называется x -неправильной. Вывести теперь признаки y -правильной области, надо полагать, совсем просто. До сих пор мы рассматривали примеры с x -неправильными и y -правильными областями интегрирования.

Тем более, что при смене порядка интегирования мы получим область интегрирования с такой же площадью. Разрешим неравенства относительно игрека и получим:. Строим полученные линии на чертёже. Теперь данный двойной интеграл можем записать как сумму двух повторных интегралов с правильно расставленными пределами интегрирования:.

Той же сумме трёх интегралов будет равен и двойной интеграл, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера. И всё же обстоятельства непреодолимой силы нередко мешают студентам уже на предыдущем шаге - расстановке пределов интегрирования. Тревога и смятение не лишены некоторого основания: Пробежим пример, в котором остановимся только на расстановке пределов интегрирования и - почти на автомате - на разбиении области и опустим само решение.

А это уже решение знакомых нам определённых интегралов , в которых заданы верхний и нижний пределы интегрирования. Выражения, задающие линии, которые ограничивают фигуру D , будут пределами интегрирования для обычных определённых интегралов, к которым мы уже подходим.

Пределы интегрирования для "нового" игрека позаимствуем у "старого" икса, то есть нижний предел равен нулю, а верхний - единице. Пределы интегрирования для "старого" игрека заданы уравнениями и. Разрешив эти уравнения относительно икса, получим новые пределы интегрирования для икса:.

Теперь рассмотрим случаи, когда условие правильности нарушается. Как уже отмечалось выше, после приведения двойного интеграла к повторному интегралу, можно поменять переменные x и y ролями, или, говоря иначе, поменять порядок интегрирования.

Решая как систему уравнения этих линий, получаем точки их пересечения: Итак, площадь фигуры найдём как двойной интеграл, сведённый к повторному:. Вычисляем внешний левый интеграл от вычисленного только что внутреннего правого:.

Как видим, решение двойного интеграла - отрицательное число. То есть, с помощью двойного интеграла можно вычислять объёмы тел. Вновь видим, что решение двойного интеграла - отрицательное число. Мы уже знаем, что представляет собой область D. Разобъём область D произвольно на n частей, не имеющих общих точек, с площадями. В каждой из этих частей выберем произвольную точку и составим сумму.

Рассортировать на левые и правые и на верхние и нижние. Это потребуется при сведении двойного интеграла к повторному интегралу — методе вычисления двойного интеграла.

Чтобы вычислить этот двойной интеграл , нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид. Здесь пределы интегрирования a , b , c , d - числа, о которых только что упоминалось. Сначала нужно вычислять внутренний правый определённый интеграл, затем - внешний левый определённый интеграл. Можно и поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид. Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: Теперь вычисляем внешний левый интеграл от вычисленного только что внутреннего правого:.