Решение числовых рядов примеры с решением

Мы знаем, что гармонический ряд расходится, следовательно, по первому признаку сравнения исходный ряд также является расходящимся. Исследуйте числовой ряд на сходимость. Необходимое условие сходимости числового ряда выполняется, так как. Очевидно выполнение неравенства для любого натурального значения k.

Для сходимости знакоположительного числового ряда необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена. Начнем с признаков сравнения рядов. Их суть заключается в сравнении исследуемого числового ряда с рядом, сходимость или расходимость которого известна.

Мы знаем, что сумма первых n членов геометрической прогрессии находится по формуле. При справедливо что указывает на сходимость числового ряда. Его частичные суммы находятся как , а предел частичных сумм бесконечен , что указывает на расходимость ряда в этом случае. Частичные суммы принимают значение для нечетных n , и для четных n. Из этого можно сделать вывод, что предел частичных сумм не существует и ряд расходится.

Установить сходимость или расходимость ряда. Так как предел общего члена ряда равен нулю , то необходимое условие сходимости ряда выполнено. Несложно заметить, что справедливо неравенство для всех натуральных k.

Исследовать числовой ряд на сходимость. Проверим необходимое условие сходимости числового ряда: Предел n-ого члена числового ряда не равен нулю, следовательно, ряд расходится. При использовании достаточных признаков для исследования числовых рядов на сходимость постоянно приходится сталкиваться с вычислением пределов , так что рекомендуем обращаться к этому разделу при затруднениях.

Таким образом, числовой знакочередующийся ряд условно сходящийся. Докажите сходимость числового ряда. Запишем ряд в другом виде. Сходится ли числовой ряд. Таким образом, мы получили сумму двух числовых рядов и , причем каждый из них сходится смотрите предыдущий пример.

Знакочередующийся числовой ряд можно записать в виде или , где. Числовой ряд называется знакопеременным , если он содержит бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов. Ряды являются знакоположительным, знакочередующимся и знакопеременным соответственно. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд из абсолютных величин его членов, то есть, сходится знакоположительный числовой ряд.

Очевидно, что , тогда. Используя эти результаты, с исходным числовым рядом можно провести следующие действия: Выражение представляет собой сумму геометрической прогрессии, знаменатель которой равен. Числовой ряд называется знакоположительным , если все его члены положительны, то есть,. Числовой ряд называется знакочередующимся , если знаки его соседних членов различны.

Воспользуемся полученными результатами для нахождения суммы исходного числового ряда: Если числовой ряд сходится, то предел его k-ого члена равен нулю: При исследовании любого числового ряда на сходимость в первую очередь следует проверять выполнение необходимого условия сходимости. Невыполнение этого условия указывает на расходимость числового ряда, то есть, если , то ряд расходится.

Следовательно, в силу третьего свойства сходящихся числовых рядов, сходится и исходный ряд. Докажите сходимость числового ряда и вычислите его сумму. Данный числовой ряд можно представить в виде разности двух рядов: Каждый из этих рядов представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, следовательно, является сходящимся. Третье свойство сходящихся рядов позволяет утверждать, что исходный числовой ряд сходится. Первый член ряда есть единица, а знаменатель соответствующей геометрической прогрессии равен 0.

Для нашего ряда n —ая частичная сумма находится по формуле суммы первых n членов геометрической прогрессии , то есть, будем иметь следующую последовательность частичных сумм: Числовой ряд называется сходящимся , если существует конечный предел последовательности частичных сумм.

Тогда из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость. Первый признак сравнения используется очень часто и представляет собой очень мощный инструмент исследования числовых рядов на сходимость. Основную проблему представляет подбор подходящего ряда для сравнения.

К примеру, числовые ряды и абсолютно сходятся, так как сходится ряд , являющийся суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся , если ряд расходится, а ряд сходится. В качестве примера условно сходящегося числового ряда можно привести ряд. Числовой ряд , составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, расходящийся, так как является гармоническим. В то же время, исходный ряд является сходящимся, что легко устанавливается с помощью признака Лейбница.

Предположим, что ряд сходится. Тогда существует конечный предел его частичных сумм. В этом случае можно записать и , что приводит нас к равенству. Не вызывают сомнения следующие неравенства. Полученное неравенство указывает нам на то, что равенство не может быть достигнуто, что противоречит нашему предположению о сходимости гармонического ряда.

Далее рассмотрим стандартные ряды, такие как гармонический ряд, обобщенно гармонический ряд, вспомним формулу для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. После этого перейдем к свойствам сходящихся рядов, остановимся на необходимом условии сходимости ряда и озвучим достаточные признаки сходимости ряда.

Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся. Суммой сходящегося числового ряда называется предел последовательности его частичных сумм, то есть,. В нашем примере , следовательно, ряд сходится, причем его сумма равна шестнадцати третьим: В качестве примера расходящегося ряда можно привести сумму геометрической прогрессии со знаменателем большем, чем единица: Еще одним примером расходящегося числового ряда является сумма вида.

Члены числовой последовательности возрастают к бесконечности. Начиная с этого номера N , справедливо неравенство. Числовой ряд сходится в силу первого свойства сходящихся рядов, так как получается из сходящегося ряда отбрасыванием первых N — 1 члена. Таким образом, по первому признаку сравнения сходящимся является ряд , а в силу первого свойства сходящихся числовых рядов сходится будет и ряд.

С другой стороны нужно понимать, что это условие не является достаточным. То есть, выполнение равенства не говорит о сходимости числового ряда. К примеру, для гармонического ряда необходимое условие сходимости выполняется , а ряд расходится.

Теорию будем разбавлять решением характерных примеров с подробными пояснениями. Пусть мы имеем числовую последовательность , где. Приведем пример числовой последовательности: Числовой ряд — это сумма членов числовой последовательности вида. Для предыдущего примера общий член числового ряда имеет вид.

Таким образом, первый признак сравнения рядов позволяет констатировать сходимость исходного числового ряда. Определите сходимость или расходимость числового ряда.

Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если , то из сходимости ряда следует сходимость. Если , то из расходимости числового ряда следует расходимость.

Частичная сумма числового ряда — это сумма вида , где n — некоторое натуральное число. К примеру, четвертая частичная сумма ряда есть. Частичные суммы образуют бесконечную последовательность частичных сумм числового ряда.

В этой статье собрана и структурирована информация, необходимая для решения практически любого примера по теме числовые ряды, от нахождения суммы ряда до исследования его на сходимость. Начнем с определений знакоположительного, знакопеременного ряда и понятия сходимости.

При справедливо что указывает на расходимость числового ряда. При s справедливо неравенство для всех натуральных k. В силу расходимости гармонического ряда можно утверждать, что последовательность его частичных сумм неограниченна так как не существует конечного предела. Тогда последовательность частичных сумм числового ряда тем более неограниченна каждый член этого ряда больше соответствующего члена гармонического ряда , следовательно, обобщенно гармонический ряд расходится при s.

Какой ряд выбрать для сравнения? Напрашивается числовой ряд , а чтобы определиться с s , внимательно исследуем числовую последовательность.

В этом случае n—ая частичная сумма может быть вычислена как. Предел частичных сумм бесконечен. Сумма вида называется гармоническим числовым рядом. Сумма вида , где s — некоторое действительное число, называется обобщенно гармоническим числовым рядом. Приведенных определений достаточно для обоснования следующих очень часто используемых утверждений, рекомендуем их запомнить.

Ряд для сравнения обычно но не всегда выбирается так, что показатель степени его k-ого члена равен разности показателей степени числителя и знаменателя k-ого члена исследуемого числового ряда.