Решение рядов с логарифмами

Это характерно для многих формул. Величины р и v являются переменными, k и индекс n являются константами. В таблице приведены значения v от 10 до 30 предполагается, что этот диапазон охватывает необходимые значения в нашей конкретной задаче и используются логарифмы для расчета соответствующего значения р в последнем столбце.

И все эти цифры после запятой точные, но необязательные. Числа, с которыми вам необходимо работать, скорее всего, имеют две значащие цифры. Эти функции нарисованы на логарифмической шкале. Перерисуйте приближения этих функций в полулогарифмическом масштабе ось х - линейные, ось у - логарифмическая. Выберите масштаб, который является обоснованными для угла значения в каждом конкретном случае. Нарисуйте приблизительные значения функции в прямоугольных координатах поверх приведенного графика.

Вот трюк, для чего введены логарифмы. Во-первых, ряд логарифмов l - x был последовательностью степеней x разделенных на гармоническую последовательность интегральных чисел, меняющих свой знак.

Выберите масштаб, который является наиболее подходящим для диапазона значений в каждом случае. Масштабы могут быть неодинаковыми на каждой оси, но обе оси должны быть линейными. Эти функции нарисованы в прямоугольных координатах. Нарисуйте приблизительные значения функции в полулогарифмическом масштабе ось х - линейная и ось у - логарифмическая. Выберите подходящий масштаб для диапазона значений в каждом случае. Нарисуйте приблизительные значения функции в логарифмическом масштабе.

Карманный калькулятор может найти ответы намного быстрее. Действительно, большинство калькуляторов имеют одну клавишу, x y. Однако, давайте посмотрим как обработать эти примеры с помощью калькулятора.

Иногда ответ не такой простой. Используя клавиши x y , получаем тот же ответ. Кроме того, можно вычислить это значение используя биномиальное разложение, если калькулятор оснащен достаточной памятью.

Но более распространенное названия натуральные логарифмы или логарифмы с основанием e. Если у логарифма основание 10, тогда логарифм 10 по основанию 10 равен 1. Вы можете изменить основание, разделив натуральный логарифм на логарифм Конечно, нахождение логарифмов с помощью карманных калькуляторов намного проще, чем использование таблиц.

Ряды Маклорена не могут быть использованы для нахождения ряда для logx, поэтому должен быть найден еще один метод. Первый шаг - изменения переменной, шаг, который очень полезен, так как вы приступаете к процессам, больше использующим математику.

Если число больше 1, мантисса не меняется, только характеристика изменяется и смещается десятичная точка. Здесь снова примеры, которые были приготовлены с помощью четырехзначных логарифмических таблиц.

Логарифм 12 считается калькулятором как 1. Умножая на 3, получаем 3. Используя смещение и логарифм дает точно Калькулятор снова высвечивает В следующем примере log 2 равен 0.

Вы можете использовать ваш калькулятор, но использование клавиши x y является не таким легким; использование клавиши log есть более легким. Возьмем логарифмы значения p: После вычитания получим 0. Возьмем логарифмы значения v: Разделим первое значение на второе: Такое вычисление требовало использование ячейки памяти вашего калькулятора.

Калькулятор вычисляет логарифмы обоих видов, натуральные и общие. Общие логарифмы обозначаются log, а натуральные логарифмы обозначаются ln. Примеры, которые мы здесь приводим, взяты из таблиц с логарифмами с четырьмя цифрами. Ваш калькулятор, возможно, показывает больше цифр, чем таблица.

В 3-й колонке приведены значения 0,4logv в качестве помощи нахождения log1,4v. Табулирование с помощью этого метода облегчало процесс до появления калькуляторов. Четвертая колонка есть вычитание из 3, что есть log Чтобы сделать это на калькуляторе, у вас есть выбор: В любом случае, вы должны вставить k в это. Если k было другим, чем степень 10, это немного усложнит вычисление. Вы знаете, что v и p относится друг к другу по закону типа: Это показывает, как это делались вычисления с помощью логарифмов до появления калькуляторов.

Для точности до шести цифр, требуется семь членов. В примере выше вы пробовали найти значение логарифмов до Обратите внимание, что есть способы для упрощения вычислений. Log 4 есть удвоенный log 2. Log 8 есть log 2 взятый 3 раза, потому что 8 есть 2 3. Хотя все алгоритмы должны быть вычислены в их основной форме с основанием e, иногда называемыми гиперболическими или логарифмами Непера от имени изобретателя логарифмов.

Вы захотите логарифмы чисел больших, чем 2. Здесь скорость сходимости показана в нахождении логарифма 2 этим методом. Он колеблется между наивысшим значением, а значит, должен сходиться гораздо дальше, чтобы достичь своего наивысшего значения.

Вам не нужно повторно вычислять каждый член. Например, чтобы получить третий член на второй, умножте на 3 и разделите на и так далее. Этот ряд сходится очень быстро. В этот раз, 4-х значные логарифмы довольно ограниченны. Используя тот же калькулятор с клавишами логарифмов или с x y , результат равен Биноминальное разложение дает тот же результат за исключением последних двух цифр.

Здесь еще одна переменная изменится. Это соотношение приводит к гораздо быстрому схождению. Он сходится так быстро, что только 4 члена необходимы для получения log2 c четырьмя цифрами после запятой. Здесь вы рассчитываете два логарифма, чтобы найти сравнения в скорости сходимости. Последовательные члены сейчас сходятся более чем Три члена ряда теперь производят логарифм с шестью знаками после запятой.

Итак, вы возвращаетесь к рядам Маклорена. Когда упрощаются коэффициенты путем деления на множители факториала, они являются своего рода гармоническим рядом, который не сходится очень быстро. Числители - это последовательные степени х, а знаменатели простые числа, не факториалы.

Ряды для log l - x используют те же численные члены, но все их знаки - отрицательные. Этот метод делает две вещи: Эти ряды заключены в большие скобки, умноженные на 2. Чтобы показать, насколько быстрее эти ряды сходятся, используйте это для вычисления log 2, что при применении первого метода заняло бы вечность.

Однако, если ввести log , высвечивается предыдущее значение 3. Выше использованы логарифмы или x y клавиши, где индексы были очевидны.

Помните, что калькулятор работает в двоичной системе, даже если он высвечивает десятичные цифры. Формула здесь связывает давление и объем в физическом расширение и сжатии газа.

Конечно, ваш калькулятор не сделает биномиальный ряд для вас. Для того-то и упражнения, чтобы показать, что биномиальный ряд работает. Как калькулятор это делает? Он имеет встроенные программы, которые вычисляют логарифмические ряды очень быстро - за доли секунды.

На своем калькуляторе я ввел логарифм 32 и получил 1. Суммируя их, получим 3. Используя сдвиг , ответ равен точно ! Последний пример показывает еще одну разницу с таблицами. Таблица дала только мантиссу - дробную часть. Вам необходимо вставить характеристику - целое число слева от запятой. Риска над 1 указывает, что характеристика отрицательная. Мой калькулятор пишет Однако, если я ввожу 1.