Решение квадратных уравнений с дробями пример

Раскрываем скобки, переносим всё влево, приводим подобные: Решаем, проверяем, получаем два корня. Предположим в задании сказано записать корень, или их сумму, если корней больше одного. Если решите, что ответ 5, — вы попали в засаду. И задание вам не засчитают. Зря трудились… Правильный ответ 3. А вы попробуйте проверку сделать. Подставить значения неизвестного в исходный пример. Чего делать нельзя категорически.

К этой теме имеются дополнительные материалы в Особом разделе Для тех, кто сильно "не очень Мы уже в курсе, как работать с линейными уравнениями и квадратными. Остался последний вид — дробные уравнения. Или их ещё называют гораздо солиднее — дробные рациональные уравнения. Это одно и то же. Как ясно из названия, в этих уравнениях обязательно присутствуют дроби. Но не просто дроби, а дроби, у которых есть неизвестное в знаменателе.

Это означает, что икс может быть любым. Каким бы он не был, всё равно сократится. А это означает, что решений нет! При любом иксе получается неправда. Осознали главный способ решения дробных уравнений? Он прост и логичен. Мы меняем исходное выражение так, чтобы исчезло всё то, что нам не нравится. В данном случае это — дроби.

Так, чтобы все знаменатели посокращались! Всё сразу станет проще. Пусть нам требуется решить уравнение:. Как учили в младших классах? Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и т.

Но минус впереди — нехорош. От него можно всегда избавиться, умножением или делением на Но если присмотреться к примеру, можно заметить, что лучше всего это уравнение разделить на -2! Одним махом и минус исчезнет, и коэффициенты посимпатичнее станут! В левой части — почленно, а в правой — просто ноль делим на -2, ноль и получим:. Решаем через дискриминант и проверяем по теореме Виета.

Как видим, в первом случае уравнение после преобразования стало линейным, а здесь — квадратным. Бывает так, что после избавления от дробей, все иксы сокращаются.

Я специально акцентирую внимание на словах исходный пример. Преобразование может изменить ОДЗ и, соответственно, ответ. Далее мы спокойно решаем уравнение, находим корни.

А единицы нам не помеха. Всю левую часть и всю правую часть:. Опять скобки х — 2 я не раскрываю. Работаю со скобкой в целом, как будто это одно число! Так надо делать всегда, иначе ничего не сократится. С чувством глубокого удовлетворения сокращаем х — 2 и получаем уравнение безо всяких дробей, в линеечку!

Места, в которых возможны запретные действия. Таких запретных действий в математике очень мало. Но и их не все помнят… Нельзя делить на ноль. Это актуально в этой теме. Есть ещё запреты в корнях чётной степени и в логарифмических уравнениях — это мы рассмотрим в соответствующих темах. Когда мы нашли опасные места, вычисляем иксы, которые приведут к бессмыслице. И исключаем их из ОДЗ.

И проверяем их на соответствие ОДЗ. Те решения или корни, которые не входят в ОДЗ — безжалостно выбрасываются. А как искать это самое ОДЗ? Внимательно осматриваем пример и ищем опасные места.

Иначе исходное выражение становится бессмыслицей. Это означает, что ОДЗ в этом примере: Всегда рядом с примером пишите ОДЗ. Под этими известными буквами, глядя на исходное уравнение, записываем значения х , которые разрешены для исходного примера.

Это так называемый посторонний или лишний корень. Мы его просто отбрасываем. Нас учили, что уравнение можно умножать на выражение! При маленьком условии — выражение, на которое умножаем делим — отлично от нуля. Так что всё честно. В этой тяжелой ситуации нас спасут три магических буквы. Я знаю, о чем вы подумали. Мы пока уравнение не решили. Но уже твёрдо знаем, что икс не может равняться нулю ни при каких обстоятельствах! На ноль делить нельзя! На любое другое число — целое, дробное, отрицательное — пожалуйста, а на ноль — ни в коем разе!

Для нахождения ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем кусочки примера для нахождения запретных иксов. Это сложно выглядит в разъяснениях, но практически — очень легко.

Хотя бы в одном. Напомню, если в знаменателях только числа , это линейные уравнения. Как решать дробные уравнения? Прежде всего — избавиться от дробей! Но это редко случается. Ниже я про это упомяну. Но как избавиться от дробей!? Применяя всё те же тождественные преобразования. Нам надо умножить всё уравнение на одно и то же выражение.

Точно так же мы будем поступать и со всякими сложными примерами с логарифмами, синусами и прочими ужасами. Мы всегда будем от всего этого избавляться. Однако менять исходное выражение в нужную нам сторону надо по правилам , да… Освоение которых и есть подготовка к ЕГЭ по математике. Сейчас мы с вами научимся обходить одну из главных засад на ЕГЭ! Но для начала посмотрим, попадаете вы в неё, или нет? Здесь я уже не писал единичку в знаменателях, несолидно… И скобки в знаменателях рисовать не стал, там кроме х — 2 ничего нет, можно и не рисовать.

Забудьте, как страшный сон! Так нужно делать, когда вы складываете или вычитаете дробные выражения. Или работаете с неравенствами. А в уравнениях мы сразу умножаем обе части на выражение, которое даст нам возможность сократить все знаменатели т. И какое же это выражение? А в правой требуется умножение на 2. После сокращения получаем линейное уравнение:. Видим, что для сокращения знаменателя с иксом, надо умножить дробь на х — 2.