Решение двойного интеграла в полярных координатах онлайн

Пусть функции осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области P плоскости на область S плоскости. Тогда существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение , области S на область P , если якобиан преобразования.

В полярной системе координат заданная область определяется системой неравенств: Вычислить двойной интеграл , S - множество точек, удовлетворяющих неравенству. Наличие в уравнении границы комбинации наводит на мысль, что для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам по формулам , ,. Уравнение границы переходит в уравнение или.

Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам. Решение контрольных по математике!!! Связаться с нами E-mail: Home Методички по математике Математический анализ Замена переменных в двойном интеграле. Замена переменных в двойном интеграле Пусть функции осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области P плоскости на область S плоскости.

Тогда справедливо равенство 2. Переход в двойном интеграле к полярным координатам Формулы 2. Якобиан преобразования И формула 2. В некоторых случаях при вычислении двойного интеграла удобно перейти от декартовых координат к Эллиптическим полярным Координатам по формулам , 2. Задачи для самостоятельного решения Перейти в двойном интеграле к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в порядке: С помощью перехода к полярным координатам вычислить интегралы: Вычислить, перейдя к эллиптическим полярным координатам, интегралы:

Так как всегда по смыслу r , то из следует , отсюда получаем этот же результат можно усмотреть из рисунка. Итак, в полярных координатах область интегрирования есть. Тогда по формуле 2. Анализ границы области указывает на целесообразность перехода к Эллиптическим полярным координатам по формулам 2. Уравнения границы области в координатах будут: Итак, область интегрирования в координатах есть.

Величины U и V можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области P и в то же время как Криволинейные координаты точек области S. Точки плоскости Oxy , для которых одна из координат U и V сохраняет постоянное значение, образуют Координатную линию. Всего будет два семейства таких линий. Пусть есть дифференцируемое преобразование области P из плоскости на область S Из плоскости.

Преобразуют полярные координаты точки в декартовы координаты этой точки и переводят область или область на всю плоскость Oxy. Обратное преобразование декартовых координат в полярные осуществляется по формулам: Фиксируя в последних формулах И , получим координатные линии из разных семейств: К полярным координатам целесообразно переходить, когда в подынтегральное выражение или в уравнения границы области интегрирования входит комбинация. В некоторых случаях при вычислении двойного интеграла удобно перейти от декартовых координат к Эллиптическим полярным Координатам по формулам.

Записать в полярной системе координат область S , заданную в декартовой системе координат неравенством круг радиуса R с центром в точке. Подставим X и Y в исходное неравенство, получим: На координату j дополнительных ограничений не накладывается, поэтому или. В полярной системе координат круг записывается неравенствами: Записать в полярной системе координат область S - часть круга, ограниченную линиями , , , - постоянные,. Запишем заданные линии в полярных координатах, которые связаны с декартовыми формулами ,: Область переходит в область.

Перейти в двойном интеграле к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в порядке: D — область, ограниченная окружностями , и прямыми ,. D - область, являющаяся общей частью двух кругов и. D - меньший из двух сегментов, на которые прямая рассекает круг. D - внутренняя часть правой петли лемнискаты Бернулли. Перейти к эллиптическим полярным координатам. D - область, ограниченная линией.