Решение криволинейных интегралов первого рода

Если точка — внутренняя точка на дуге , то криволинейный интеграл второго рода можно представить в виде следующей суммы:. Если кривая задана явным уравнением , , то криволинейный интеграл второго рода. Уравнение отрезка , то есть в этом случае и. Запишем уравнение как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:. Если кривая задана параметрически , то криволинейный интеграл 2 рода. При перемещении от точки до точки параметр изменяется от до.

Найдем уравнение указанного отрезка как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: Вычислить криволинейный интеграл 1 рода , где — отрезок прямой между точками и. Вычислить криволинейный интеграл первого рода , где — часть лемнискаты , которая находится в первом координатном углу. Изобразим заданную кривую рис. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где — ломаная , причем , ,. Кривую интегрирования можно розбити на две части и рис.

Если функция непрерывна во всех точках дуги , то этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения дуги на части, ни от выбора точек на каждой из них:. Предел называется криволинейным интегралом первого рода и обозначается. Если кривая задана явным уравнением , то. Если кривая задана параметрически уравнениями , а параметр изменяется на этой дуге от до , то криволинейный интеграл первого роду вычисляется по формуле:.

Решение Изобразим заданную кривую рис. Полярный угол изменяется в пределах от 0 до. Решение Кривую интегрирования можно розбити на две части и рис. Запишем уравнение как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: Решение Запишем параметрические уравнения прямой: Вычислить криволинейный интеграл первого рода , где — отрезок прямой от точки до точки.

Справочник Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание! Заказать решение Не можете решить контрольную?! Несобственный интеграл Виды интегралов Длина дуги кривой через интеграл Сходимость интегралов Двойной интеграл.

Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где — отрезок прямой от точки до точки. Запишем параметрические уравнения прямой:

Предел суммы таких произведений при условии, что все стремятся к нулю, называется криволинейным интегралом 2 рода:. В случае, когда на дуге заданы две непрерывные функции и , то можно рассматривать криволинейные интегралы и. Сумму указанных интегралов будем называть криволинейным интегралом второго рода при условии, что оба интеграла и вычисляются по одному и тому же направлению.

На нашем сайте собрано более бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике. Не можете решить контрольную?! Более 20 авторов выполнят вашу работу от руб! Пусть на декартовой плоскости задана некоторая непрерывная кривая , в каждой точке которой определена функция двух независимых переменных и.

Главная Справочник Интегралы Криволинейный интеграл. Криволинейный интеграл Криволинейный интеграл 1 рода Пусть на декартовой плоскости задана некоторая непрерывная кривая , в каждой точке которой определена функция двух независимых переменных и.

Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения администрации портала и при наличие активной ссылки на источник. Онлайн калькуляторы На нашем сайте собрано более бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Тогда пределы изменения параметра:. Если кривая задана в полярной системе координат уравнением , , то криволинейный интеграл первого рода равен. Пусть в каждой точке некоторой дуги плоской кривой определена функция двух независимых переменных. Точками разобьем указанную дугу на частных дуг, на каждой из которых выберем произвольную точку. Значения функции в выбранных точках — — умножим на величину , которая является проекцией частной дуги на ось абсцисс: Если функция непрерывна во всех точках дуги , то существует предел суммы всех построенных произведений при: Этот предел не зависит ни от способа разбиения дуги на частные дуги, ни от выбора точек на них.

Предел называется криволинейным интегралом второго рода от функции по дуге и обозначается. Если значения функции в точке — — умножить на , то есть на проекцию элементарной дуги на ось ординат, то получим произведение.

Разобьем заданную дугу на частей точками ,. На каждой из элементарных дуг выберем произвольную точку и вычислим в ней значение функции: Составим сумму произведений значений на длину элементарной дуги: Найдем предел этой суммы при условии, что длина наибольшей из дуг стремится к нулю, а их количество.

Если функция непрерывна во всех точках дуги , то этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения дуги на части, ни от выбора точек на каждой из них: Решение Найдем уравнение указанного отрезка как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: Решение Составим уравнения прямой: Тогда пределы изменения параметра: ПРИМЕР 3 Задание Вычислить криволинейный интеграл первого рода , где — часть лемнискаты , которая находится в первом координатном углу.