Решение числовых неравенств с одной переменной

Графическое решение неравенств с одной переменной. Для графического решения неравенства нужно построить графики функций и выбрать те промежутки оси абсцисс, на которых график функции расположен выше графика функции Пример. Решить графически неравенство Решение. Построим в одной системе координат графики функций Из рисунка видно, что график функции расположен выше графика функции при Ответ: Линейные неравенства с одной переменной.

Значит, и мы приходим к неравенству далее. Выражения и должны иметь одинаковые знаки, т. Из первой системы находим, что а из второй, что.

Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному.

Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: Значений удовлетворяющих одновременно неравенствам нет, значит, заданная система неравенств не имеет решений. Совокупность неравенств с одной переменной.

Решить совокупность неравенств Решение. Преобразовав каждое из неравенств, получим совокупность, равносильную заданной: С помощью числовой прямой находим, что решением заданной совокупности служит промежуток рис. Рассмотрим примеры решения неравенств. Дробь положительна, если числитель и знаменатель ее имеют одинаковые знаки, т. Значит, мы получаем совокупность двух систем неравенств: Из первой находим Из второй находим В итоге получили следующие решения заданного неравенства: Имеем последовательно Умножим обе части неравенства на —1, изменив при этом знак неравенства см.

Кроме того, можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства, основанный на следующей теореме, Если выражения при любых принимают только неотрицательные значения, то неравенста раввосилыиа.

Получим согласно теореме 6. Системы неравенств с одной переменной. Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств. Значение переменной, при котором каждое неравенство системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств. Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной скобкой.

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупности если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств. Значение переменной, при котором хотя бы одно из неравенств, образующих совокупность, обращается в верное числовое неравенство, называется решением совокупности неравенств.

Дробь меньше или равна нулю в двух случаях: Значит, мы получаем две системы неравенств: Из первой находим Из второй находим Значит, множество решений заданного неравенства есть промежуток Здесь речь идет о неравенствах вида , где Если дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, а старший коэффициента положителен, то при всех значениях выполняется неравенство Рассмотрим теперь случай, когда. Для решения неравенства нужно разложить квадратный трехчлен на множители по формуле см. Найдем корни трехчлена Из уравнения получаем.

Квадратный трехчлен имеет два одинаковых корня: Значит, и неравенство принимает вид Это неравенство выполняется при всех кроме. Последовательно имеем откуда Из первой системы получаем из второй.

Применяется эта теорема при решении неравенств с модулями так. Пусть нужно решить неравенство Так как при любых из области определения выражений справедливы соотношения то данное неравенство равносильно неравенству Пример 1. Значит, нам нужно указать на координатной прямой все точки которые удалены от точки 1 меньше чем на 2 единицы. С помощью координатной прямой рис. Возведя обе части данного неравенства в квадрат, получим равносильное ему неравенство Решая последнее неравенство, получим откуда находим, что - см.

Неравенство выполняется при тех значениях при которых точки параболы лежат выше оси Таких точек нет, значит, неравенство не имеет решений. Уравнение не имеет действительных корней. Парабола, служащая графиком функции имеет вид, изображенный на рисунке 81, в.

Линейным называется неравенство вида соответственно Если то неравенство равносильно неравенству , значит, множество решений неравенства есть промежуток Если , то неравенство равносильно неравенству значит, множество решений неравенства есть промежуток. Если , то неравенство принимает вид т. Далее имеем По теореме 6. Разделим теперь обе частн неравенства 1 на отрицательное число — 9 и изменим знак неравенства.

Иногда используется запись в виде двойного неравенства. Например, систему неравенств можно записать в виде двойного неравенства. Решить систему неравенств Решение. Первое неравенство системы преобразуется в равносильное ему неравенство а второе — в неравенство Таким образом, задача сводится к решению системы С помощью координатной прямой рис.

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному. Например, неравенства равносильны по теореме 6.

Преобразуем неравенство к виду и, умножив обе части последнего неравенства на —1, получим Корни квадратного трехчлена таковы: Разложим трехчлен на множители, в результате чего получим неравенство и далее От последнего неравенства переходим к совокупности систем неравенств: Первая система не имеет решений, а из второй находим, что Пример 3.

Решение рациональных неравенств методом промежутков. Решение рациональных неравенств вида вместо знака может быть и любой другой знак неравенства , где многочлены, основано на следующем рассуждении. Если то каждый из сомножителей положителен, и, следовательно, на промежутке имеем Если то а остальные сомножители по-прежнему положительны. Значит, на интервале имеем Аналогично на интервале b; с будет и т.

Пусть дано неравенство Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства. Решить неравенство с переменной — значит найти все его решения или доказать, что их нет. Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают; в частности, неравенства равносильны, если оба не имеют решений. При решении неравенств обычно заменяют данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному; полученное неравенство снова заменяют более простым, равносильным данному неравенством и т.

Эту иллюстрацию нужно понимать так: Поэтому оно применимо и для функции вида где числа попарно различны. Изменение знаков функции мы также можем иллюстрировать с помощью кривой знаков, которую чертят справа налево, начиная сверху, и проводят через все отмеченные на координатной прямой точки На этом основан метод промежутков, который с успехом применяется для решения рациональных неравенств.

Уравнение имеет два корня: Парабола, служащая графиком функции имеет вид, изображенный на рисунке 80, а. Неравенство выполняется при тех значениях при которых точки параболы лежат выше осн это будет при или при т. Неравенство выполняется при тех значениях при которых точки параболы лежат на оси или ниже ее: Уравнение имеет один корень Парабола, служащая графиком функции имеет вид, изображенный на рисунке 81,6.

По определению модуля числа поэтому данное неравенство можно заменить совокупностью двух систем неравенств: Из первой системы получаем , из второй системы Объединив эти решения, получим промежуток Пример 2. Нам нужно указать на координатной прямой все такие точки которые удалены от точки —2,5 на расстояние, большее или равное 3,5. Возведя обе части неравенства в квадрат, получим неравенство равносильное данному. Преобразовав последнее неравенство, получим откуда находим: Если то и, следовательно, неравенство примет вид Если же то и неравенство принимает вид Таким образом, данное неравенство можио заменить совокупностью двух систем: Значит, множество решений неравенства — луч.

Неравенства равносильны по теореме 6. На практике иногда полезны теоремы, являющиеся обобщениями теорем 6. Если обе части неравенства умножить или разделить I на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной положительные значения то получится неравенство равносильное данному. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной отрицательные значения, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Выполним преобразования левой части неравенства и умножим обе части неравенства на 8; получим неравенство , равносильное данному. Изменение знаков функции иллюстрируем с помощью кривой знаков рис. Значения , при которых заштриховано , удовлетворяют следующим неравенствам: Это решения исходного неравенства.

Неравенство выполняется при тех значениях при которых точки параболы лежат ниже оси Поскольку вся парабола лежит ниже оси то неравенство выполняется при любых значениях х. При решении неравенств, содержащих переменные под знаком модуля, используется определение модуля: Иногда полезно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой означает расстояние точки координатной прямой от начала отсчета О, а означает расстояние между точками a и b на координатной прямой см.

Графическое решение неравенств второй степени. Графиком квадратичной функции является парабола с ветвями, направленными вверх, если и вниз, если. При этом возможны три случая: Итого возможны шесть положений параболы, служащей графиком функции относительно оси они представлены на рисунках 80— Опираясь на эти графические иллюстрации, можно решать квадратные неравенства.