Решение однородных дифференциальных уравнений 2 порядка

Определитель называется определителем Вронского или вронскианом. Выше мы указали, что уравнение имеет своими частными решениями функции. Легко убедиться, что первое и второе решение не образует фундаментальной системы, а первое и третье образуют фундаментальную систему на всей числовой оси.

Рассмотрим некоторые свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений. Если функции являются решениями линейного однородного уравнения 45 , то и функция также является решением этого уравнения при любых значениях постоянных Доказательство. Подставив функцию и ее производные в левую часть уравнения 45 , получим так как функции являются решениями уравнения 45 и, следовательно, последние два выражения в квадратных скобках равны нулю.

Свойства функций, непрерывных на сегменте 4. Понятие об обратной функции 5. Обратные тригонометрические функции 6. Показательная и логарифмическая функции 7. Приращение аргумента и приращение функции 2. Определение непрерывности функции с помощью понятии приращения аргумента и приращения функции 3. Задачи, приводящие к понятию производной 4. Определение производной и ее механический смысл 5. Геометрический смысл производной 7. Производные некоторых основных элементарных функций 8. Основные правила дифференцирования 9.

Так как общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные то возникает вопрос, не будет ли решение общим решением уравнения Покажем, что это не всегда имеет место.

Если два частных решения уравнения 45 образуют на интервале фундаментальную систему, то общее решение этого уравнения имеет вид При этом предполагается, что коэффициенты непрерывны и на интервале. Прежде всего заметим, что при любых функция на основании теоремы 1 является решением уравнения Поэтому, чтобы убедиться, что это решение является общим, остается показать, что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям: Пусть - либо частное решение уравнения 45 , удовлетворяющее начальным условиям Покажем, что оно может быть выделено из решения 48 надлежащим выбором постоянных.

Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями 6. Основные теоремы о пределах 7. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций 3.

Так, например, уравнение удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения при любых начальных условиях см. Это уравнение имеет, как легко проверить, частные решения.

Координаты точки в пространстве 5. Способы задания функций 5. Основные элементарные функции и их графики 6. Целые и дробно-рациональные функции 8. Функции четные и нечетные. Уравнение прямой с угловым коэффициентом 3. Уравнение прямой, параллельной оси ординат 4. Общее уравнение прямой и его частные случаи 5. Построение прямой по ее уравнению 6.

Очевидно, всякое линейное однородное уравнение имеет решение. Однако это решение ни с одним другим частным решением фундаментальной системы не образует, так как в этом случае определитель Вронского тождественно равен нулю: Ответ на поставленный выше вопрос о виде общего решения однородного линейного уравнения дает следующая теорема. Теорема 2 о структуре общего решения.

Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых 7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении 8. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки Окружность, эллипс, гипербола и парабола как конические сечения 7. Упрощение уравнения кривой второго порядка. График квадратного трехчлена 8. Уравнение равносторонней гиперболы, асимптоты которой приняты за оси координат 9.

Построение плоскости по ее уравнению 5. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей 6. Общие уравнения прямой 3. Параметрические уравнения прямой 4. Канонические уравнения прямой 5. Уравнения прямой, проходящей через две точки 6. Угол между двумя прямыми. Прямая и плоскость в пространстве 2. Точка пересечения прямой с плоскостью 3. Расстояние от точки до плоскости 4.

Действительно, так как , то, подставляя начальные условия, получим Эти равенства представляют собой систему уравнений с неизвестными Определитель этой системы равен значению определителя Вронского при Так как по условию частные решения образуют фундаментальную систему частных решений на интервале , которому принадлежит точка , то. Поэтому для неизвестных получим следующие единственные значения: Полученное частное решение в силу теоремы единственности будет совпадать с решением Итак, показано, что если образуют фундаментальную систему частных решений, то общее решение имеет вид Из доказанной теоремы следует, что для нахождения общего решения достаточно знать два его частных решения, образующие фундаментальную систему.

Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными 4. Линейные операции над векторами 4. Проекция вектора на ось и составляются вектора по оси 5. Разложение вектора на составляющие по осям координат 6. Направляющие косинусы вектора 7. Условие коллинеарности двух векторов 8. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов Косинус угла между двумя векторами Выражение векторного произведения через проекции перемножаемых векторов Смешанное произведение трех векторов Геометрический смысл смешанного произведения Действия над матрицами 3.

Однако их линейная комбинация являясь решением данного уравнения, не будет его общим решением. Действительно, нетрудно убедиться в том, что функция удовлетворяющая начальным условиям является решением единственным уравнения. Однако это решение нельзя получить из линейной комбинации так как уже первое начальное условие для функции не выполняется ни при каких значениях.

График дробно-линейной функции Определитель третьего порядка 3. Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными 3.

Производная обратной функции Производные обратных тригонометрических функций Производные гиперболических функций Производная степенной функции с любым показателем Сводная таблица формул дифференцирования

Действительно, и Пример 2. Легко проверить, что уравнение имеет частные решения Эти решения образуют фундаментальную систему на любом интервале, не содержащем точку Действительно, т.

Два частных решения однородного линейного дифференциального уравнения, второго порядка образуют фундаментальную систему решений на некотором интервале , если ни в одной точке этого интервала определитель не обращается в нуль.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду 4. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку 3. Общее уравнение плоскости и его частные случаи 4.

Рассмотрим уравнение Как мы видели в примере 2, функции образуют фундаментальную систему решений на любом интервале, не содержащем точку Поэтому на основании теоремы 2 общее решение этого уравнения имеет вид Найдем частное решение данного уравнения при следующих начальных условиях: Геометрическое изображение действительных чисел. Координаты точки на прямой 3.

Абсолютная величина действительного числа 4. Расстояние между двумя точками на плоскости 3. Деление отрезка в данном отношении 4.