Решение лимитов для чайников

Чистовой вариант решения может выглядеть так:. Предвосхищаю вопрос от чайников: На ноль же делить нельзя! А пока всем начинающим изучать математический анализ предлагаю читать далее. Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: Решить предел Сначала попробуем подставить -1 в дробь: В данном случае получена так называемая неопределенность. Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и или использовать формулы сокращенного умножения.

Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя вынести -1 за скобки. Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены. Продолжаем рассматривать неопределенность вида.

Понятие предела — это понятие, если так можно сказать, динамическое. Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:. Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию. А что в это время происходит с функцией?

Проверочные работы по теме "Неопределенные интегралы". Синус и косинус угла. Тангенс и котангенс угла. Четные и нечотные функции. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:

Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения. Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем — минус.

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:. Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены. Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию.

А от корней в математике принято, по-возможности, избавляться. А без них жизнь проще. Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов: И смотрим на наш предел: А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, то есть на:. То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение. В известной степени, это искусственный прием. Теперь самое время применить вверху формулу:.

Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:.

Теория пределов — это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел.

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике. Получена неопределенность вида , которую нужно устранять. Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней.

Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо? Максимальная степень в числителе: Полное оформление задания может выглядеть так:.

Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность. Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения. В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так: Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике. Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка.

Очевидно, что можно сократить на:. Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:. Разложим числитель на множители. Что важного в данном примере? Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть. Если в пределе практически любого типа можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.

Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Да просто подставить тройку под корни:. Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше. Разложим числитель на множители: Практические работы по математике. Арксинус, арккосинус и арктангенс угла. Возрастание и убывание функции. Периферийные устройства персонального компьютера.

Понять, что такое предел. Научиться решать основные типы пределов. Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта. А сразу пример, чего бабушку лохматить…. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность.

Старшая степень в числителе равна двум. Старшая степень знаменателя равна двум. Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: Итак, метод решения следующий: Разделим числитель и знаменатель на.

Что у нас получается вверху? А что получается внизу? Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида. Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше. Итак, решаем наш предел. Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение: И квадратный корень из него: Если корень не извлекается нацело получается дробное число с запятой , очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.