Решение двойных интегралов для чайников

Я рекомендую следующий порядок действий: Аналогично поступаем с более простой линейной функцией: Анализируем исходные пределы интегрирования: После того, как вы определили на чертеже область интегрирования, сменить порядок обхода не составит особого труда.

Таким образом, порядок обхода области: В общем-то, можно записать ответ: Пример 4 Построить область интегрирования и изменить порядок интегрирования Это пример для самостоятельного решения. Пример не очень сложный, но обратите внимание, что порядок обхода изначально задан вторым способом! Что делать в подобных случаях?

Это пример для самостоятельного решения. Грамотно постройте чертёж и строго соблюдайте направления обхода откуда и куда светить лазерной указкой. Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Грамотную и быструю технику построения чертежей можно освоить на уроках Графики и основные свойства элементарных функций , Геометрические преобразования графиков. Итак, этап первый — выполнить чертёж.

Решение опять начинается с чертежа. Функция , понятно, задаёт прямую, но что задаёт функция? Давайте её немного преобразуем: Смотрим на пределы внешнего интеграла: Для наглядности я указал стрелками первый способ обхода области, который соответствует повторным интегралам условия: В результате получаем две обратные функции: Опять же, если возникают сомнения, возьмите любую точку окружности и выясните, где лево, а где право. Изменим порядок обхода области: В то же время лазерная указка проводится вдоль оси ординат снизу вверх от 0 до 2 зелёная стрелка.

Перейти к повторным интегралам и расставить пределы интегрирования двумя способами. Изобразим область интегрирования на чертеже: Обычная плоская фигура и ничего особенного. Теперь я выдам каждому из вас орудие труда — палку-копалку лазерную указку.

Во-первых, если речь идёт об интегралах, то, очевидно, придётся интегрировать. Следовательно, для освоения примеров нужно уметь находить неопределённые интегралы и вычислять определённые интегралы хотя бы на среднем уровне. Хорошая новость состоит в том, что сами по себе интегралы в большинстве случаев достаточно просты.

Чаще всего типовое задание встречается немного в другой формулировке: Пример 3 Построить область интегрирования и изменить порядок интегрирования Решение: По условию дан первый способ обхода области.

Задача состоит в том, чтобы просканировать лучом лазера каждую точку заштрихованной области: В задачах вышесказанное записывают в виде неравенств: Данные неравенства называют порядком обхода области интегрирования или просто порядком интегрирования После того, как мы разобрались с порядком обхода, можно перейти от двойного интеграла к повторным интегралам: Теперь необходимо перейти к повторным интегралам вторым способом.

В данном параграфе мы рассмотрим важнейший вопрос — как перейти к повторным интегралам и правильно расставить пределы интегрирования. Как было сказано выше, сделать это можно так: На практике эта вроде бы несложная задача вызывает наибольшие затруднения , и студенты часто путаются в расстановке пределов интегрирования.

Алгоритм решения двойного интеграла: Без чертежа задачу не решить. Точнее, решать-то она решается, но это будет похоже на игру в шахматы вслепую. На чертеже следует изобразить область , которая представляет собой плоскую фигуру. Чаще всего фигура незамысловата и ограничена какими-нибудь прямыми, параболами, гиперболами и т.

Как вычислить двойной интеграл? Для того чтобы вычислить двойной интеграл, его необходимо свести к так называемым повторным интегралам. Сделать это можно двумя способами. Наиболее распространён следующий способ: Вместо знаков вопроса необходимо расставить пределы интегрирования. Откуда взять пределы интегрирования? Они зависят от того, какая в условии задачи дана область. Очень скоро вы узнаете, как правильно расставлять пределы интегрирования.

Примерный образец оформления решения в конце урока. Похожий пример я еще разберу подробнее чуть позже. Даже если вы всё отлично поняли, пожалуйста, не торопитесь переходить непосредственно к вычислениям двойного интеграла. Порядок обхода — вещь коварная, и очень важно немного набить руку на данной задаче , тем более, я еще не всё рассмотрел! В предыдущих четырёх примерах область интегрирования находилась целиком в 1-ой, 2-ой, 3-й и 4-ой координатных четвертях. Всегда ли это так?

И ноль тоже запросто может получиться. Здесь всё так же. У двойного интеграла существует и отличный геометрический смысл, но об этом позже, всему своё время.

После того, как переход к повторным интегралам осуществлён, следуют непосредственно вычисления: Отсюда и название — повторные интегралы. Грубо говоря, задача сводится к вычислению двух определённых интегралов. Второй способ перехода к повторным интегралам встречается несколько реже: Пределы интегрирования, обозначенные звёздочками — будут другими! Какой бы мы ни выбрали способ перехода к повторным интегралам, окончательный ответ обязательно получится один и тот же: Пожалуйста, запомните это важное свойство , которое можно использовать, в том числе, для проверки решения.

Двойные интегралы для чайников Данный урок открывает обширную тему кратных интегралов , с которыми студенты обычно сталкиваются на втором курсе. Двойными и тройными интегралами можно запугать обывателя не хуже, чем дифференциальными уравнениями , поэтому сразу же разберёмся с вопросом: Конечно, некоторым будет сложно, и, если честно, я немного слукавил с названием статьи — для того, чтобы научиться решать двойные интегралы, необходимо обладать некоторыми навыками.

Обходим область интегрирования вторым способом: Теперь лазерную указку держим слева от области интегрирования. Луч лазера проходит область строго слева направо.

Порядок обхода области следует записать в виде неравенств: И, следовательно, переход к повторным интегралам таков: Ответ можно записать следующим образом: Еще раз напоминаю, что окончательный результат вычислений не зависит от того, какой порядок обхода области мы выбрали поэтому поставлен знак равенства. Но, до конечного результата ещё далеко, сейчас наша задача — лишь правильно расставить пределы интегрирования.

Для этого следует найти обратные функции. Кто ознакомился со вторым параграфом урока Объем тела вращения , тому будет легче. Смотрим на функции, которыми задается область. Если , то , причём: Сомнения развеять очень просто: Более того, данную проверку мысленно или на черновике желательно проводить всегда , после того, как вы перешли к обратным функциям. Времени займет всего ничего, а от ошибки убережёт наверняка!

Начнём с насущного вопроса — что это такое? Понятие двойного интеграла Двойной интеграл в общем виде записывается следующим образом: Разбираемся в терминах и обозначениях: Что значит вычислить двойной интеграл?

Тем, кто много пил пиво в течение первых семестров. Однако нормальных студентов тоже обнадёжу — на сайте есть все материалы, чтобы восполнить пробелы или недопонимание. Просто вам придётся потратить больше времени. Ссылки на темы, которые следует изучить или повторить, будут прилагаться по ходу статьи. На вводном уроке поэтапно и подробно будут разобраны следующие базовые моменты: Порядок обхода области интегрирования. Как изменить порядок обхода? Кроме того, существует распространенная задача о вычислении двойного интеграла в полярных координатах, но, увы, про сами полярные координаты у меня пока нет урока.