Решение уравнений с модулем 10

Теория вероятностей Контрольные по теории вероятностей Случайные события Случайные величины Законы распределения. Дифференциальные уравнения Решение дифференциальных уравнений. Внешнее независимое оценивание Екзамены, тесты. Решение задач Андрей Tel.

В первую очередь избавляемся модуля у переменной. Такого рода примеры приводят к большому количеству областей, поэтому можно решать применяя разбиение на промежутки, а можно решать самые уравнения, а после того проверять решения подстановкой. Оба уравнения при раскрытии модулей дают следующие Находим корни первого уравнения Решаем второе квадратное уравнение С третьего уравнения получаем два решения.

Ниже модули изображены графически. Есть квадратный трехчлен который сводится к решению двух уравнений Решаем каждое из квадратных уравнений. Дискриминант у них будет одинаковый Находим корни первого уравнения и второго Обозначенные корни уравнения не относятся области на которой искали решение.

Третий интервал дает два корня , которые удовлетворяют исходное уравнение с модулями. На четвертом интервале уравнение превратится в тождество, это означает, что все точки из интервала являются решениями. Таким образом , решением будут два промежутка Для наглядности графики модуля вместе с правой частью изображены графически. Имеем квадратное уравнение под модулем, кроме того переменная в нем также содержится под модулем. Такого рода задачи вызывают немало трудностей при решении у начинающих, но для профи такие примеры не сложные.

Раскрывая модуль получим два уравнения с условиями на неизвестную Находим решения уравнения Такого типа уравнение с модулем можно решить графическим методом. В результате получим следующий вид функций. Решаем по схеме предыдущего примера. Находим точки в которых модули превращаются в ноль.

Таким образом отсеивают лишние результаты. Для наглядности перейдем к вычислениям. Этот пример является простейшим типом уравнений с модулями. В первую очередь уравнение содержит модуль один раз и переменная входит линейно. Находим точку в которой выражение под знаком модуля обращается в нуль Справа от этой точки выражение под модулем принимает положительное значение, слева - отрицательное.

Все это напрямую следует из определения модуля числа: После вычислений проверяют принадлежит найденное решение рассматриваемому интервалу или нет.

Решить модульное уравнения Решение: Таким образом , решением будут два промежутка Для наглядности графики модуля вместе с правой частью изображены графически Пример 7. Графический метод Уравнения с модулями. Графический метод Модуль в модуле Решение неравенств с модулями.

Из последнего - 4 уравнения получаем два корня. Всего получили 8 решений уравнения с модулями. Проверка подстановкой показывает что они все подходят. Также для подтверждения ниже приведен график фигурирующих модулей. Все рассмотренные примеры достаточно просто решаются в математическом пакете Maple. Уравнение с модулями требуют большого внимания при решении. Самая меньшая невнимательность или ошибка со знаком может привести к лишним решениям или их нехватке.

Окончательно получим На графике модуль-функции решение является пересечением с осью Ox. Находим нули Делим область на пять интервалов в которых находим знаки функций Раскроем модули для первой и пятой областей Данные точки принадлежат краю области, однако при подстановке уравнение превращается в тождество. Второй интервал превращается в тождество, следовательно все точки интервала включая краями являются решениями.

При вычислениях можете выполнять проверку методом подстановки или с помощью Maple или других известных Вам программ. Обучение Уроки Высшая математика Теория вероятностей. Решение уравнений с модулями. Найти решение уравнения Решение: В результате получим следующий вид функций Пример 2. Ниже модули изображены графически Пример 4. Окончательно получим На графике модуль-функции решение является пересечением с осью Ox Пример 5.

Обе точки разделяют действительную ось на интервалы. Обозначаем знаки подмодульных функций на найденных интервалах. Знаки устанавливаем простой подстановкой точек из интервала Для удобства можете обозначать интервалы графически, некоторым это очень помогает, но можно обойтись только приведенными выше записями. Раскрываем модули учитывая знаки и находим решения. Последнее решение не имеет смысла, поскольку не принадлежит промежутку на котором его находим. Таким образом уравнения удовлетворяют значения Графики модуль-функций приведены ниже, точки их пересечения и являются решением.

Примеры легко сводятся к обычным уравнениям при знании правил - а они достаточно просты. При раскрытии модуля требуется найти точки в которых подмодульная функция принимает нулевое значение. Истинную ось разбить найденными точками на интервалы и установить знаки функции на каждом из них. Дальше раскрывают модули по правилу: Если подмодульная функция положительная то модули раскрывают без изменений. Если отрицательная то раскрывая модуль функцию берут со знаком минус.