Решение дифференциальных уравнений 2 порядка примеры

Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание! Заказать решение Не можете решить контрольную?! Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Неоднородные дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения второго порядка Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Главная Справочник Дифференциальные уравнения Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. ЗАМЕЧАНИЕ Итак, для составления характеристического уравнения, необходимо заменить производные степенями производной неизвестной величины k, причем степень k должна равняться порядку соответствующей производной.

Обозначив эти два слагаемых через , получаем формулу для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения второго порядка 1: Он позволяет найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка 1 , если известно общее решение соответствующего ему однородного дифференциального уравнения 2. Его характеристическое уравнение имеет вид: Следовательно, решение однородного уравнения запишется в виде: То есть решение исходного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка будем искать в виде: Для нахождения функций и составляем следующую систему уравнений: В результате будем иметь: Если правая часть неоднородного дифференциального уравнения второго порядка 1 представляет собой сумму нескольких функций вида 7 , 8 , то частное решение такого уравнения также будет являться суммой частных решений, построенных отдельно для каждого слагаемого в правой части.

Поскольку корни характеристического уравнения действительны и различны, то решение заданного однородного дифференциального уравнения второго порядка запишется в виде:.

Запишем соответствующее характеристическое уравнение: Найти его частное решение при условиях. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид: Найти решение дифференциального уравнения.

То есть в данном случае корни комплексные и для них. Следовательно, решение однородного уравнения запишется в виде:. То есть решение исходного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка будем искать в виде:. Для нахождения функций и составляем следующую систему уравнений:. В числителе применяем основное тригонометрическое тождество и выражаем производную:. Получили дифференциальное уравнение первого порядка относительно искомой функции. Интегрируем левую и правую части последнего равенства.

На нашем сайте собрано более бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике. Не можете решить контрольную?! Более 20 авторов выполнят вашу работу от руб! Здесь — некоторые константы. Соответствующее ему однородное уравнение:. Это квадратное уравнение называется характеристическим уравнением , соответствующим однородному дифференциальному уравнению 2. Его корни их можно найти, например, либо с использованием дискриминанта, либо по теореме Виета.

Перепишем эту функцию следующим образом: Тогда частное решение, согласно 10 , ищем в виде: Для этого найдем от него первую и вторую производные: В результате упрощения будем иметь: Сокращаем левую и правую части последнего равенства на: Тогда согласно принципу суперпозиции, частное решение заданного уравнения будет равно сумме частных решений, соответствующих каждой из указанных функций: Тогда уравнение принимает вид: В результате получаем систему: Подставляем в исходное уравнение: Найти решение линейного однородного дифференциального уравнения.

В результате будем иметь:. Таким образом, решение исходного неоднородного уравнения запишется в виде:. Если правая часть неоднородного дифференциального уравнения 1 представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию или комбинацию указанных функций:.

Онлайн калькуляторы На нашем сайте собрано более бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике. Справочник Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся.

Составляем характеристическое уравнение, которое соответствует заданному однородному дифференциальному уравнению второго порядка: Рассмотрим соответствующее однородное уравнение: Найти общее решение уравнения.

Решая его, получаем, что , то есть корни характеристического уравнения действительны и равны друг другу. Тогда искомое решение принимает вид:. Значение констант и из заданных начальных условий:. Из второго условия получим:. Итак, получаем, что корнями характеристического многочлена являются комплексно сопряженные числа, для которых.

Вначале найдем решение соответствующего однородного уравнения.

В любом из случаев вид частного решения соответствует структуре правой части исходного неоднородного дифференциального уравнения. Неизвестные коэффициенты многочленов определяются подстановкой выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение 1. Частное решение исходного неоднородного уравнения будем искать по виду правой части. Перепишем эту функцию следующим образом:. То есть правая часть неоднородного уравнения имеет вид 8.

Искомые функции и находятся из системы. Решая систему 5 относительно пока неизвестных функций и а точнее относительно их производных и , будем иметь:.

К уравнениям вида 1 чаще всего применяются два метода решения: Если известно общее решение соответствующего однородного уравнения 2 , то общее решение неоднородного уравнения 1 можно найти, используя метод вариации произвольных постоянных. Далее варьируем произвольные постоянные, то есть считаем, что в указанном решении величины и — это не постоянные, а функции переменной x:.

Сокращаем левую и правую части последнего равенства на:. Правая часть исходного неоднородного уравнения представляет собой сумму двух функций и. Тогда согласно принципу суперпозиции, частное решение заданного уравнения будет равно сумме частных решений, соответствующих каждой из указанных функций:.

Поскольку корни характеристического уравнения действительны и различны, то решение заданного однородного дифференциального уравнения второго порядка запишется в виде: Найти его частное решение при условиях Решение Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид: Тогда искомое решение принимает вид: Значение констант и из заданных начальных условий: Из второго условия получим: ПРИМЕР Задание Найти решение дифференциального уравнения Решение Составляем характеристическое уравнение, которое соответствует заданному однородному дифференциальному уравнению второго порядка: ТЕОРЕМА Общее решение неоднородного уравнения 1 равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения 2 и частного решения неоднородного уравнения: ЗАМЕЧАНИЕ Сравнивая полученное решение с решением однородного уравнения 3 , делаем вывод, что первые два слагаемых в 6 есть общее решение однородного уравнения, соответствующего неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка 1 , а последние два слагаемых — частное решение неоднородного уравнения 1.

Тогда частное решение, согласно 10 , ищем в виде:. Для нахождения неизвестных коэффициентов и D подставим частное решение в исходное уравнение. Для этого найдем от него первую и вторую производные:. Подставляем полученные выражения в исходное дифференциальное уравнение. В результате упрощения будем иметь:.

Подставляем его в исходное уравнение, для этого находим производные первого и второго порядков:. Для нахождения неизвестных коэффициентов используем тот факт, что два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях. В результате получаем систему:. Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.